448 D. BIERENS DE IIAAN. NOUVELLES FORMULES DE REDUCTION. 



on a affaire à des intégrales continues. Les intégrales discon- 

 tinues mènent à des séries divergentes , et Ton peut dire généra- 

 lement qu'elles se soustraient à toute discussion. Dès lors il 

 peut paraître dangereux et même illicite d'introduire une sorte de 

 séries divergentes ^ comme nous allons le faire: mais pourtant 

 j'ose croire que les résultats seront suffisamment établis , pourvu 

 qu'on ne néglige pas les mesures de précaution^ que la mé- 

 thode démontre être indispensables ^ mais en même temps suffi- 

 santes. 



2. Toute fonction qui peut être développée suivant les sinus 

 ou les cosinus des multiples de la variable x ou plutôt du pro- 

 duit SX j — et c'est une propriété assez étendue, — peut être 

 exprimée par une sommation par rapport à l'indice n 



a a 



/, (x) = V A« Sin nsx, . . (a) f\ (x) ^= Bq + -T B« Cos nsx ; . (h) 

 1 ' 1 



où l'on n'a pas mis le Bo sous le signe de sommation, 

 parce qu'il arrive souvent dans la suite que les fonctions, qui con- 

 tiennent Bq , ne suivent pas la même loi que celles qui contien- 

 nent le B«. 



Maintenant soit q, (x) une fonction quelconque de a?, et /9 et 

 q des limites quelconques de cette variable: il vient 



çq a ^q 



I (f>{x)f^ (x)dx=z:^ An j (f'{x) Sinnsx dx, (A) 



çq M a .q 



I (f> {^)fi W dxz=z^Q I (p (^x) dx -h V B« j (f {x) Cos nsx dx . . (B) 



Pour que ces formules puissent servir, il est nécessaire que les inté- 

 grales qui se trouvent sous le signe de sommation , ainsi que celle 

 qui est facteur de Bq, soient toutes continues: puis, que les séries 

 sous les signes de sommation soient convergentes , dans le cas de a 

 infini, c'est-à-dire lorsque ces séries deviennent infinies. Car lorsque 

 les intégrales elles-mêmes sont discontinues, on ne saurait les som- 

 mer : et lorsque les intégrales sont continues , mais que la série est 

 divergente, il ne peut y avoir un signe d'égalité entre les deux 



