D. BIEREXS DE HAAN. NOUVELLES FORMULES DE REDUCTION. 449 



membres de chaque équation : les séries divergentes ne représen- 

 tant aucune fonction bien définie. 



Quand une fois ces conditions sont remplies^ il ne reste plus 

 qu'à déterminer les intégrales 



I (p (x) clx ^ . . . (c) I (f (x) Sin ux dx,. . [d) I (ç {x) Cos ux dx ; . (e) 



de sorte qu'il faudra choisir la fonction (p {x) et les limites j) et 

 q telles que cette intégration soit possible. Dès lors on peut en- 

 core étendre cette méthode. 



3. Prenons une seconde fonction, que l'on puisse développer 

 suivant les sinus ou les cosinus des multiples du produit te; ex- 

 primons-la par une sommation par rapport à l'indice m , on aura 



c c 



/g {x) = V Cm Sin m(x, . . (/) /\ (x) 1= Do + -S" Dm Cos mtx\ . {g) 

 1 1 



où le coefficient Dq n'est pas pris sous le signe de sommation, 

 par la même raison qui, au N^. 2, s'appliquait au coefficient Bo- 

 Maintenant dans les théorèmes (A) et (B) l'on n'a qu'à rem- 

 placer go (.r) par go {x) f^ {x) ou par ^ {x) f\ {x) : puis il faut 

 réduire les produits des sinus et des cosinus à une somme ou 

 à une différence d'autres fonctions goniométriques, de telle sorte 

 que l'on revienne toujours aux mêmes intégrales (c), (f/), (e) ; c'est 

 ainsi que l'on trouve les théorèmes suivants. 



I «P (^0 f\ (=^) /s C-^) ^^^ = ^ A« 2" C;rt I q> [x] Sin nsx. Sin mix dxzzz 

 Jp 1 1 Jp 



= - ^ K sQm I cf{x)dx[Cos ! [ns^mt)x ] —Cos | {ns^mt)x j ] , (C) 

 Z \ 1 J p 



Cl ^ C9 



I ^ {^) f\ (•^) /4 {p^) f^-^ = Do ^ A« j (f [x) Sin nsx dx -+- 



J P 1 Jp 



a c çq a rq 



-h 2^A« vDw j (fj{x)Sinnsx.Cosmtxdx—iyQ 2 kn \ cf[x)Sinnsxdx-V- 

 1 1 Jp 1 Jp 



a c rq . 



S An y; Dm I ^{x)dx [Sin | {ns-\-mf)x -f- Sin | {ns — mt)x j ] , (D) 

 l 1 Jj) 



1 ^ 



Archives Néerlandaises, T. V. 29 



