450 D. BIERENS DE HAAN. NOUVELLES FORMULES DE REDUCTION. 



V (^) ./2 (^) f?. (^) ^^**' = Bo ^ Cm j (p {xj Sin mtx dx -{- 

 p \ J p 



a c rq ^ ^ Cl . 



-f- :i" B« ^ C/« 1 (p (x) Cos nsx.Sin mtx dx^^^ i:Gm\ q>{x)Sin mtxdx-\- 

 i \ Jp 1 Jp 



-I- - V Btt V Cw j cp [x) dx [Sin | {ns-\-mt) x j — Sin { {us — 7nl) x\]^ (E) 

 2 i i Jp 



f^ix)/^ WA {^)dx=BQ Do P(p(a')^*^+Bo Id.^ [\>(x)Cosmtxdx-{- 



Jp Jp 1 *'io 



a rq a c rq 



-h Do ^ B« I (?5 (o-') Cos nsx dx -\- 2: Bn ^ T)m I <? [x] Cos nsx. Cos m Ix dxz= 

 i Jp i i J p 



rq ^ Çl ^ Cl 



=BoDo I (p{x) dx-\-làQ 2 Dm (p{x)Cosmlxdx-ï-Do vB« | (f{x)Cosnsxdx-\- 

 Jp 1 Jp 1 Jp 



H- - 1 Bn 1 D;« r <P {x) dx [Cos j {ns + mt)x \-{-Cos\ {ns — mt) x]]. (F) 



2 1 1 Jj-; 



Ces quatre théorèmes exigent les mêmes conditions que les précé- 

 dents (A) et (B). Ils donnent lieu à quelques remarques. 



4. Dès que la fonction <p (x) est de telle nature que l'intégrale 

 (c) n'est qu'un cas particulier de l'autre (e) pour u zéro , et que 

 Bo et Do se déduisent de Bn et Dm pour n et m zéro , l'on peut 

 simplifier les résultats, en admettant le terme détaché sous la 

 sommation, pourvu qu'on commence celle-ci pour n ou m zéro, 

 au lieu de l'unité. Lorsque de plus, en pareil cas, la valeur de 

 l'intégrale (d) s'annule pour u zéro , on peut en faire de même rela- 

 tivement aux sommations qui en dépendent pour cause de symétrie. 



En outre, cette propriété de la fonction q, (x) donne lieu à 

 une autre quant aux seconds membres de nos théorèmes. Car 

 alors, dans le cas où la différence ns — mt s'annule, on peut 

 garder ce terme sous le signe de sommation, sans altérer le 

 résultat. Il en est de même pour ns — mt négatif: aussi long- 

 temps que les intégrales (d) et (e) conservent leur valeur pour 

 un u négatif. 



Mais si au contraire la valeur de ces intégrales (d) et (e) 

 change pour un u négatif, ou si l'intégrale (c) , pour ns — mt 

 zéro , n'est plus un cas particulier de l'autre (e) , nos théorèmes 



