J). BIERENS DE HA N. NOUVELLES FORMULES DE REDUCTION. 451 



changent de forme. Dorénavant il faut beaucoup de précautions 

 quant aux intégrales qui ont un facteur Sin \ (us — ml) x\ ou 

 Cos \{ns — mt)x\\ et d'abord il faut partager ces intégrales 

 sous le signe de sommation en deux groupes, selon que 

 ns — ml est positif ou négatif, ou bien qu'il s'annule. En géné- 

 ral sr. et ix sont des multiples simples de x : après leur substi- 

 tution le signe de {ns — mt) x dépendra d'une relation simple 

 entre les indices n et m : il faudra en tenir compte à l'égard des 

 limites a et c de la sommation par rapport à ces indices n et m. 

 Mais ce partage des séries doubles qui résultent de la multiplica- 

 tion des séries /' entre elles, offrira des difficultés particulières. 



Quand, en premier lieu, cette série double est finie, la sépara- 

 tion des deux parties se fait suivant une série de termes diago- 

 naux, pour ainsi dire, qui alors en même temps donnent lieu 

 à d'autres valeurs propres; l'une des moitiés de la série répond 

 au signe positif de la différence ns — mt , l'autre moitié au 

 signe négatif. De plus, lorsqu'on n'a pas l'égalité absolue de 

 s ç^i t, ces termes diagonaux ne se trouvent pas dans chaque 

 série partielle horizontale, ou dans chaque série partielle verti- 

 cale. De sorte qu'il faut user ici de beaucoup de circonspection, 

 et même ordinairement on ne pourra pas exprimer le résultat 

 par une même formule générale. Ce qui vient d'être remarqué 

 par rapport à une série double finie, s'applique encore à plus 

 forte raison à une série infinie dans l'une des directions, ou 

 dans les deux directions (pour a =z co , c = co ). 



Ainsi cette série se trouve dans le même cas qu'une inté- 

 grale double, où la fonction à intégrer devient discontinue entre 

 les limites de l'intégration et où, par suite, il n'est pas permis 

 d'intervertir l'ordre des intégrations, comme on le fait générale- 

 ment. Si pourtant on se décide à cette interversion , afin de pou- 

 voir trouver la valeur de l'intégrale, il devient nécessaire d'ajouter 

 une correction, dont la forme est connue. De même ici, dans la 

 sommation de la série, il faut prendre des précautions analogues. 



5. Toutes ces difficultés s'accroissent , dès que l'on passe à l'ap- 

 plication pour des formes particulières d'une des fonctions f(x)f 



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