D. BIEREiNS DE HAAN. NOUVELLES F0R31ULES DE REDUCTION. 453 



gues aux théorèûies (C) à (F). Toutefois il est évident que, dans le 

 cas où (p {x) contient déjà un facteur de cette nature , il n'est plus 

 besoin d'eu introduire; alors les théorèmes (A) et (B) sont suffi- 

 sants ; leurs seconds membres acquièrent dès lors la forme des 

 premiers membres de ces formules (G) à (K). 



Il s'agit maintenant d'écrire ces formules pour quelque valeur 

 spéciale convenable de la fonction <p {x) , de calculer les inté- 

 grales du second membre , et de développer les sommations, 

 autant qu'il est possible. De la sorte on obtient autant d'in- 

 tégrales définies qui sont rendues propres à notre but. Lorsqu'on 

 y écrit ml pour u, qu'on les multiplie respectivement par Qm et 

 par Dm , — ici il ne faut pas oublier le terme détaché à coeffi- 

 cient Dq , — et qu'on en prend la sommation par rapport à 

 l'indice m , les premiers membres sont devenus les mêmes , comme 

 on vient de le remarquer, que ceux des théorèmes (C) à (K) : mais 

 on a séparé les réductions aux seconds membres en deux opéra- 

 tions consécutives, et c'était justement ce que nous voulions faire. 



6. Maintenant il faut faire le choix de la fonction (p (x) , afin 

 que les intégrales (c), (t/), (e), soient connues entre les limites p et 

 q. Soit p^=.0, q:=zco, et prenons q) {x) tel que, outre un isiO,- 



tem' Sin 91 SX ou Cosmx, il s'y trouve encore un facteur 



q"^ — x"^ 



ou . Alors on trouve dans mes Nouvelles Tables d'In- 



q'^ — x"^ ' 



tégrales Définies, Table 17, N°. 1, et Table 161, N'>. 5, 4, 6 

 et 3, les intégrales suivantes 



Ç"^ qdx ^ n\ ("^ qCosnsx , n 



I __^ = 0, . . {h) \ \ — - dx = - Sm nqs, 



JQ q — x-^ J q^ — x-^ ^ 



(0 



q^ — x^ J q 



J r\ n- ;/? ^ 2 



I u. ^uo fe ou. ^,^,___ Q^^ ^^^^^ Q^ (nqs) + Sin nqs. Si (nqs) , (/) 



xSinnsx , ^ ^ //\ 



dx zzz — - Cos nqs J [k) 



q- — x-- 



X Cos USX 



g' 



l 9_^^' ^^, _- ;§|J^ jig^^ Qi (^j^^j — Cqs ^qg^ Si (îiqs) ; (m) 

 J q"^ — x"^ 



q^ — X 



