456 D. BIEREINS DE HAAN. NOUVELLES FORiMULES DE REDUCTION. 



On voit que la dernière intégrale est discontinue, à cause de 

 l'intégrale 



r- xdx _ ^ l , . ^ ,,r 



= — ^ Bo \co — lq^\ z= — œ. 

 On i3eut y remédier en faisant usage de la fonction 



a 



f\ (x) z=: Z B« Cos nsx , (v) 



1 



au lieu de /\ (x) dans (h). On pourrait prendre ici 



a 



fi (-^y — Bq HZ ^ B« Cos nsx, 

 1 



et l'on trouve 



/** xdx ^ 



f'% G'^) i=:-^'Brt [Cosnqs.Ci(nqs) — Sin?iqs.Si{7iqs)].{ÏVa) 

 q^ — x^ 1 



7. Mais la même fonction 9 (x) peut servir pour les théo- 

 rèmes (G) à (K), où l'on change le u en p: dans les réductions 

 on n'a plus besoin de l'intégrale (h) , mais seulement des suivantes (i) 

 à (w). Quant au signe de ns — p, il a influence pour les inté- 

 grales (n) à (q) ; ce n'est pas le cas dans les suivantes (r) à (u). 



Aussi longtemps que p^ as , la plus grande valeur de n , qui 

 est n = a, ne peut rendre p — 71s négatif, et il faut eniployer 

 les premières valeurs des intégrales (w) à (9'). Quand onap=za,s', 

 ce qui vient d'être dit est encore vrai pour toute la sommation , de 

 n:=zl à n-=a — 1 : mais pour le dernier terme de la somma- 

 tion, pour nz:=.a, on a p — ns=.Oy et par suite il faut prendre 

 pour ce terme la troisième valeur des intégrales. Quand enfin 

 on a p ^ as, il y aura une certaine valeur d de n (où l'on a 

 1 <.d <. a) , telle que p — ds soit encore positif, mais que pour le 

 n suivant, nz=:d -\- 1 , on ait p — {d -[- 1) s négatif. Dès lors, 

 pour la première sommation , de 7iz=:l à n:=:d ,i\ faut employer 

 la première valeur des intégrales , mais de nz=:d-\- 1 à n = a 

 il faut au contraire en prendre la deuxième. Il peut y avoir en- 

 core un cas d'exception , c'est lorsque p est égal à ds. Dans ce 

 cas il faut diviser la sommation en trois parties distinctes : la 



