D. BIERENS DE HAAi\. NOUVELLES FORMULES DE REDUCTION. 457 



première, une sommation de ?i zz: 1 k nzzid — 1, avec la pre- 

 mière valeur des intégrales ; ensuite un terme détaché pour n-=z.d 

 suivant la troisième valeur; et enfin une seconde sommation, de 

 nz=zd-\- 1 à 71=: a, avec la deuxième valeur des intégrales. 

 Ici d est le plus grand nombre entier qui soit contenu dans 



la fraction -; l'on se sert de la notation connue d z=z /^l^;etla 



s ^^^ s 



différence des deux cas consiste dans la condition, que la pre- 

 mière fois !- était fractionnaire, c'est-à-dire dp <: 6- < (f/ + 1) /? ; 



s 



tandis que la seconde fois on avait dpzzzs < (d-\-l) p et L était 



s 



entier. On écrit ces conditions ainsi : dzzz T '- fraction etd=:)^L 



entier ; les mots fraction et entier ne regardant que la fraction — . 



s 



Maintenant le chemin est frayé pour avoir des résultats sûrs 

 et que l'on puisse représenter d'une manière claire et convenable. 

 On trouvera des valeurs quelquefois différentes pour les divers cas , 

 et plus tard on pourra introduire la fonction /'. {x) ou /\ (x). 



8. Pour donner une idée des résultats, employons la formule 

 («) avec /j (x) j et (o) avec /\ (x), on trouve 



f 



ûdx ^ ^ . \ 



/j (x)Sinpx — = — - Cospq, v KnSin nq^^^i i 



=z — l Cospq. f\[q), ] 



:=: — ~-Cospq,:>: knSinnqs—-^Sinpq. Z knCosnqs, .... (V6) 

 ^ 1 ^ d+l 



p < as , 



z=z — — Cospq.Zkn Sinnqs-\-'^ ^AnSin ! (ns — p)q \ ziz 

 ^ 1 - '^ d+l 



a 



= — - Cospq. f, {q)-{- 2:AnSin \{ns — p)q], I, . . . . (Vc) 

 ^ d+l 



