D. BIERENS DE HAAIN'. iNOUVELLES FORMULES DE REDUCTION. 459 



Avant d'aller plus loin, quelques remarques. 

 En premier lieu, la troisième valeur de {n) est contenue dans 

 les deux premières valeurs comme valeur limite, puisqu'on a 



— - Sin nqs. Cos nqs zzz. — - Sin 2 nqs ■==. — Sin 2 pq. 

 Ainsi dans les formules (Va) à (V^) il n'y avait pas lieu de dis- 

 tinguer entre les cas de p > as et de p^=z as , ou bien de !- frac- 



s 



tion ou entier. Au contraire, cela était bien nécessaire pour l'in- 

 tégrale suivante, puisque dans {p) la troisième valeur ne se 

 déduit pas des deux premières. Dès lors il devait y avoir diffé- 

 rence entre (Via) et (VI6j, entre (Yld) à (Ylf) et {Ylg) à (VU). 

 Quelquefois il y avait lieu de réduire la sommation à la fonction 

 /i (9) 0^^ .A {9) : on en a profité, sans faire de distinction en 

 ce cas entre les coefficients A« et B«. Enfin , puisqu'on a toujours 



a a d 



2: = n — i:, 



d+l G 1 



l'on a donné le résultat tant par la première sommation que par 

 la dernière ; afin d'en laisser le choix , suivant que a — d est 

 ou non plus petit que d, c'est-à-dire que a est ou non plus 

 petit que 2d. 



9. Pour l'application de ces formules, qui forment le premier 

 pas dans notre méthode , il est nécessaire de choisir des fonctions 

 /i (•^) q^^i fournissent des coefficients kti et B« propres à donner 

 au second membre des expressions assez simples ; s'il est possible , 

 de telle manière que la sommation de 1 à ^, et de f/ -1- 1 à a 

 soit facile à exprimer. 



Prenons à cet effet 



^. / V r Sin SX ^ o • 



/, [x] ■=: = Z r« Siti nsXj 



1 — 2r Cos SX + r'^ i 



/^ {x) zz: ^^ z= 1 -h 2 J r« Cos nsx^ 



1 — 2r Cos SX ~h r^ 1 



1 — 2r Cos SX -\- r^ l 



