D. BIERENS DE HAAN. NOUVELLES FORMULES DE REDUCTION. 463 



10. Maintenant on peut employer ces intégrales pour déduire 

 un nouveau système de formules de réduction générales, au 

 moyen des formules (/) et {g) du N^. 3. Car, lorsque dans les 

 intégrales (6), (7) en (8) on fait p = mt, il se trouve sous le 

 signe d'intégration le facteur sin mtx , de sorte qu'elles peuvent 

 servir pour le développement (/"). Multiplions par Qm et sommons 

 par rapport à m de m:=:l à m =: c ; comme dans ces inté- 

 grales on a calculé toutes les sommations, de telle manière qu'il 

 n'y eût plus de n , on pourra changer ici le m en n. Mais il y a 

 quelques particularités à observer : 



1°. Aussi longtemps que la plus grande valeur de p, qui na- 

 turellement est ici cf y reste moindre que s, on a d zévo , puisque 

 ce d est par hypothèse le plus grand nombre entier contenu 



dans la fraction — : de sorte qu'il faut employer les valeurs (7) 



s 



et (8), à l'exclusion de (la) et [Sa). 



2^. Quand la plus grande valeur de p^ c'est-à-dire et , devient 

 égale à s, alors ce qui vient d'être remarqué s'applique à la som- 

 mation de n •= 1 jusqu'à n = c — 1: mais pour w=:c, on ob- 

 tient le terme correspondant à d=ily de façon qu'ici pour le 

 terme détaché il faut employer non les valeurs (7) et (8), mais 

 les valeurs (7^) et (8a) = 



3o. Soit et plus grand que s , mais plus petit que 2^, 5 < c/ < 2^; 

 il se peut que s soit un multiple de t^ ou non. En premier lieu , 

 supposons que s se trouve entre deux multiples consécutifs de 

 /, c'est-à-dire, /./ < 5 < (k H- 1) /: alors on a premièrement la 

 sommation du cas 1° de n=:l à nz=zk, avec f/ z= ; ensuite une 

 seconde sommation de nzzik -\-l à n-=LC, où d-=.l: ces som- 

 mations exigent toutes deux les valeurs (7) et (8). — En second 

 lieu, supposons que s représente un multiple exact de /, soit s-=:ktj 

 où k moindre que c: premièrement il vient la sommation du cas 

 1° de n-=.l à n-^k — 1, pour d-=:0, où il faut employer les in- 

 tégrales (7) et (8) ; ensuite vient le terme détaché, auquel s'appliquent 

 les intégrales {la) et (8^), pour nzzzk et f/ = l; enfin la dernière 

 sommation de nz=. k -{- 1 à nzizc, où maintenant ^ izz 1 , exige 

 de nouveau les intégrales (7) et (8). 



