464 D. BIERENS DE HAAN. NOUVELLES FORMULES DE REDUCTION. 



4°. Quand ci devient égal au double de s , ct=z 2s, il y a de 

 nouveau à distinguer deux cas , suivant que s est ou non un multiple 

 de /. Dans le second de ces cas , soit s situé entre deux multiples con- 

 sécutifs de ^ ; p. e. kt < 5 <: {k-\-l)t ; il faut prendre la sommation du 

 1° de n = l à n^=k pour dzzzO, et la seconde sommation du 

 3° de M = A' + 1 à n:=zc — 1 ; ensuite il faut ajouter un terme 

 détaché à coefficient Ce, on d = 2, et où il faut employer les 

 intégrales (7a) et (8a). — Quand au contraire s est un multiple 

 exact de /, c'est-à-dire sz=kf, la sommation du 1^ doit se faire 

 de n nz l à n:=.k — 1; elle sera suivie d'un terme détaché , 

 calculé d'après 2°: après cela viennent la seconde sommation 

 de 3° de w =zz A -f- 1 k n=zc — 1 ^ et le terme détaché pour 

 71 i=z c, comme auparavant. 



5°. Lorsque et est plus grand que le double de 5 , mais moindre 

 que le triple, nous avons quatre cas différents. Supposons pre- 

 mièrement que s ne soit pas un multiple exact de t, donc 

 kt ^s ^{k -h 1) t et par suite 2 A;/ < 2^ < 2 f/v + 1) / : ici il 

 peut se présenter trois cas. En premier lieu soit 2kt ^2s <^{2k-{-i)t, 

 ce qui comprend la première inégalité par rapport à s: on a une 

 première sommation comme au 1° de w i= 1 à n:=:k] une deux- 

 ième sommation comme au 3° de w nz A; -h 1 k n = 2k : enfin 

 une troisième sommation de n=:2k -\- 1 à nz=c, où maintenant 

 on a d=z2, et à laquelle conviennent les intégrales (7) et (8). — 

 En second lieu soit (2A;-|-1) / < 25 < 2 (A--hl)^ qui comprend encore 

 la première inégalité pour s ; alors aux sommations précédentes il n'y 

 a rien à changer que les limites : la deuxième va de n=zk-\-l 

 à nz=:2k -^ ly la troisième de ?« = 2A; -h 2 à « zz: c. — En trois- 

 ième lieu 2s peut être un multiple exact de /, et alors il faut qu'on 

 ait 2sz={2k -h 1) /, à cause des limites de 2^: dans ce cas la 

 première sommation du 1° va de nz=l à w = A; ; la seconde 

 sommation du 3° va de n = k-^l knzz: 2k , et est suivie d'un terme 

 détaché pour « = 2 /<; + 1 , où dz=z2,Qi où il faut employer les 

 intégrales (7a) et (8a) : enfin on a la troisième sommation de plus 

 haut , de nz=^2 k -^ 2 à n-=.c. — En quatrième lieu il se peut 

 que s soit un multiple exact de /, soit s = kt'^ dès lors il est 



