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ZUR THEORIE DER FUNCTIONEN C>). 



VON 



LEOPOLD GEGENBAUER. 



VORGELEGT IN DER SITZUNG AM 10. JÄNNER 1884. 



In den folgenden Zeilen werde ich eine Reihe von neuen Sätzen Über die Functionen Cl(x), welche 

 bekanntlich durch die Gleichung: 



7i = 00 



1) (1—2^0; -Ha;*)--' = _^C;(a;>" 



definirt sind, mittheilen. 

 Aus der Gleichung: 



1 — 2z cos x-hz^ ^ (1 — 2 cos X — iz sin 2:)(1 — z cos x-+- i: sin x) 

 folgt: 



X, JA =; 00 



(l-2^cos x^z') -' =2^ [n(v-l)]Ml(/)110.) ^ '^''^ (X-a)x + « sin {Ä~p.)x\ 

 und daher ist: 



2) G „ (cos :r) = 2^ [n(v-i)fn(Ä)ii(.a) '''*^' ^^"'"•^•'^ ^ ' ^'° (^-i^>} 



(/, rj. = 0, 1, . . .,«; X-l-,a = w) 



oder auch, weil der imaginäre Bestandtheil auf der rechten Seite dieser Gleicbimg, wie man leicht erkennt, 

 verschwindet: 



oN /iv, V V n(v-HX— l)n(v-l-,a— 1) ^. . 



^^ ^" ^''' ")=z [n(v-i)]*ii(Aji;(;.) ''"^ (^'-''^> 



(X, |:jl = 0, 1 , ...,«; Ä -H ,a = h) 

 und: 



4) C" fcos x) - y n(v+Ä-i)ri(v-x+»-i) 



^ o„(cos^j_^ [n(v-i)]Mi(A)ii(«-Ä) '"''^" -^^''- 



Berücksichtigt man die Formel: 



ifcM=i)._/-L..-,,eo..->., 



