Zur TJieorie der Functionen Cl^(x). ^^^ 



52) pY^)^i2^^/ COS" f cos Hfdf 



n j {x'^ sin* f -f- cos ^ f] "+' 



/o 



übergeht. 



Diiferentiirt man die Gleichuug- 1) uacli z, multiplicirt das Eesultat mit z und addirt zu der so entstehenden 

 Relation die mit 2v multiplicirte Gleichung 1), so erhält man: 



71 = CO 



1 — zx S^ «-t-2v 



(1— 20x-t-0*)-'+' Z_j^ 2 

 und daher hat man auch: 



c:{x)z'' 



V 

 n=0 



7», W = OO 



1 2 (« + 2v>".+"C;(a;)C;;(^) = ^^-^ 



1-^ 



m, ?i = ^ •' 



=(l—zx) 2^s-Cr''^'(a;) 



1 — zx 



2(^ + v) 



^2^1^''t.'(^)]' 



i- = 



i V .Mr..>^+;' 



{[cs::;:,'(x)]'-x[crX:r)]' 



2(^-^v)^A. 

 [C!t^,'(.r^]'— a;[Ci^+Xa;)]'= (r-t- 2.a+ 2v) C|f+X^) 



r^ oo 



^ y (« -4- 2v)^"'+" C:,(a;) Cl (x) ^ 27-^ ^^ ('• + 2f. + 2v)^'- C S^+X^)- 

 Aus dieser Gleichung folgt die Relation: 



oder, weil: 



ist: 



m,n = 00 



53) r+2,.+2v ^,+ _ J_ y^,. _^ gv-X) Cr(a;) C;_x(x). 



X=0 



Setzt man in dieser Gleichung v = und beachtet, dass: 



r 1 V 1 2 



— C'r-i,(x) = cos \(r — '^) Jirc cos x\ 



^ V -'v=o r—l »^ ^ 



ist, so erhält man: 



).=r 



54) -'-^^ ^''''W = 2 ^^^''^ ^°^ ^^*'~'^^ ^^'"^ ''^^ ""5 



'^ x=o 



oder: 



x=.- 



55) ^—^ — — Cr (cos x) = 2_. ^^- (^'os «) cos (/• — l)x. 

 Ein specieller Fall der Gleichung 53) ist die Relation: 



ii(r-fT/^-f-v)n(M.— i)n(v) _ v n(k-h-iJ.—i)n{r-\-v—X) 

 n( r) ri( fj. ^^) ~ Zj n(A)n(/— ;>) 



56) fTTTTTTT::^:^ =/ 



;,=0 



