Zur riieorie der Fumtionen C'/x). 203 



Es soll mm der Weith des Integrals: 



/•+' 2,-1 



\{[Cl{^)\+[C"n+i{x)\\.ri>{\-x^) ^ dx 



^-' 1 



(h 5>0, v'^-^,1) ganzzalilig und ^ n) 



ermittelt werden. Durch partielle Integration erhält man: 



/*+' 2v-£ 2v-l 



/- + ' 2.,_^ /•+' 2V-3 



Unter den gemachten Voraussetzungen ist aber: 



61) \x'-'{\-x'') ' {CX.r) + C;+,|f/.r = ■ 



und daher hat man : 



G2) \lP>.i^)]' + fPn+.Oi-)l'U''''.J^ = 2 



/'+' 3v-l /•+' 2v-3 



03) l \\C:(x)]' -^[C:+i{x)]]x"{l-x') ' dx=(2^-l) xP+>{C:(j^-^C:+>{.f)\{l-x') ■-' r/^' 



Die Relation 62) hat schon Herr C atalau abgeleitet. 

 Aus der Gleichung 61) folgt: 



/•+' 2v-S /*+' 2,-3 



jx''+'{Cl(x)^Cl+r{x)\{l-x^) ■' (}x=jxP-'{C:{x)-^C:,+iUi)\(l-x^) ' dx 

 und daher ist für ein ungerades jd: 



/•+' 2v-3 /•+' 2,-3 



lxP+*{C:ix)^Cl+i{x)\{l-x') ' dx=j{C:ix)-^-C:+i{x)\{l-x^) ^ dx 

 für ein gerades^ hingegen: 



/"+' 2v-3^ /"+' 2v_3 



lxi>+'{C:,(x)-^Cl+i(:x)\{l-x') ä rZ.r=nc;(.r) + C:,+,(.r)|.r(l-a;^) '^ rf.r. 



(-4). 



Nun ist aber: 



^=m 



(U-. r-^+7r-^ - "^^~^^ V n(X + r-l)n(;;+r+;x-X-l) , 



und daher: 



lc;;(.r)(l-a;^) =* da: = 

 wenn w« Ungerade ist, hingegen : 



■+* 2,-3 



-i 



