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Leopold Gegen bau 



er. 



+1 



2v— 3 



C'L{x)(\-x^) - dx = 



(v-l)ll(2v-3) 



falls m gerade ist; während: 



r+' 2V-S 



\xCl(x)(l-x^) " (fo; = 



ist für gerade vi, für ungerade >» aber durch die Gleichung: 



.+1 



22v. 



\xCl{x){\-x'') ' dx = 



H"^)] 



'— 1 



(v-l)lI(2v-3) 



bestimmt wird. 



Es ist also schliesslich: 



65) I 



{[C;(x)]'H-[C;:+,(x)]'|a:?(l-A'^) ^ r/.r = 



'— 1 



II(2v-l) 



Man hat daher das interessante Resultat, dass das Integral auf der linken Seite dieser Gleichung von n 

 und j} unabhängig ist. Für v = ^ verwandelt sich diese Relation in die Gleichung 62). 



Ist/(a;) eine ganze Function von x von nicht höherem als dem wten Grade, so ist nach 65): 



>+i 



66) 



2v- 



\[c:(x)]'^[c:+^(x)]']f(x){i-x') ^ dx: 



ll(2v-l) 



yu)- 



Specielle Fälle dieser allgemeinen Relation sind die Formeln: 



67) \\{C;^i^]'-^[C:+,{x)]'\{[Cl{x)]'-i-\Ci+,(x)]'](l-x') ^ dx = 



__ 2,u(2m-<-2jüi-t-l)II(m-H2p^j L V 2 /J 

 ~ li( 2/^ -t- 1) U{mj ll(^2v-l) 



(w^w) 



.+f 



2v-lM* 



68) 



{(c;',(x)i'+[c:+,(:r)]'|c;;(;r)(i-x«) ■' dx-. 



11(ot-+-2/j.-1) 



>-n [^■"(¥)] 



II(2|JL-1)1I(/») ri(2v-l) 



Die Gleichung 64) kann man auch benützen, um die Coeffieicnten zu bestimmen, welche bei der 



1 _ 1 



Entwicklung von 



man: 



wo: 



.r ^ _ g nach den Functionen Cl{x) auftreten. Da , ^ eine gerade Function ist, so hat 



=f= y Ä2nC''2„{x) 



Ä,„ = 



l/l-iC' 



(2n-h-v)n(2n) 



2-'-'ll(2«-)-2v-l) 



«(^) 



ll(2v-l) 



r 



Ul-xy-'Ci„(x)dx 



ist. Berücksichtigt man die Formel 64), so erhält man sofort: 



