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ist. Von den speciellen Fällen dieser Formel mögen die folgenden besonders hervorgehoben werden: 



7G) 



1' 



(l-x^) ' C:(x)dx 



n(v— 1 ) II( /A H- n~l) II(2v H- n—1) ri[v— y.— i-) 2' ll(- 



(1—3-)!^ 



2"+' n(,o.-i) n(«) n ("'^f^''" ^-) n 



«-i-2v — /i.— 1 



1 



.+1 



2v— I 



77) 



78) 



(1-.-)= c;;(.y.^,_i^„ n(''-i)»('*-2v_i)n(^) 



1 



?«+' n(- 



n-i-2v — l \ /n-h2v — 2 



n(2v-i) 



-(V) 



n(2v— 1) 



+1 



F„(x)x _ 2\f2 



'-. lAr 



weiche letztere Formel man Herrn Catalan verdankt. 

 Aus der Gleichung 77) leitet man ferner ab: 



'+1 



79) 



^.. (-1)"- 



log ( 1 -H .r ) C:,( xVl — .r^) - ilx = 



2'n 



2v— 1 



n(n-^-2-v) L ll(2v— 1) 



ans welcher Formel sich mit Hilfe der bekannten Kelation: 



80) 



die Gleichung: 



81) 



n Cl{x)—2{n^v—\)x 6':',_,(.r) -h (■« -h2v- 2 )(?:_,( jO= 



+< 



.r log ( 1 -H .r) 6' ;,( .1-) (1 — .r*) - (Ix = 



(-1)" 



(«— !)(«-+- 2 v—1) 



2' rif 



2v— Im 



V 2 



ll(^2v — 1) 



ergibt. 



Specielle Fälle dieser Gleichung sind die bekannten Formeln: 



.+1 



82) 

 8.3) 



(log (1 -4-x)P„(a;)rfa;= (-])"-'— Irr 



,-+1 



r log (1 -t- a;) Pnix) dx = {—\)"- 



«— 1)(«.-4-2)' 



.\us der Gleichung 7il) folgt auch die Formel: 



84) log 1^ = rifv- 1) n(-^^) y S Wi2n^^-^D 



1 — X V 2 / .i — I „, , . ../2«-t-2v-+-lA .., ^ -r ' 



n = « 2-"+' 



2 



n(»-+-v) 



{n^O) 



(//>1 



Herr F. Neumann hat in seinen „Beiträgen zur Theorie der Kugelfunctionen" (pag. 70 ff.) eine Reihe 

 von merkwürdigen Beziehungen zwischen den Kugelfunctionen erster und zweiter Art aufgestellt. Dieselben 

 sind specielle Fälle von Relationen, welche zwischen den Functionen C'„(x) und Z)I(a;) bestehen. Ich werde nun 

 zwei Classcn von Beziehungen zwischen den eben erwähnten Functionen ableiten, welche aus zwei verschie- 

 denen Quellen entspringen. Die eine Classc von Relationen verdankt iiire Entstehung dem Umstände, dass 

 die Functionen C'Jx) und I),^'2.,^i{x) sicii \ on den Näherungsnennern und Restfnnctionen der regulären Ketten- 



bruehcntwicklung der Function .t~' 1<\1, -^r-, v-t-l, j-"~- ) nur um constante Factoren unterscheiden, die andere 



