Zur T/ieon'e der Finicfioiii'ii C^^(a;). 



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Rcilic fuli;t aii8 der Eigenschaft der Functionen C',',(x) und D'',(x), dans dieselben iiarticnläre Integrale derselben 

 linearen Diflereutialgleichuug zweiter Ordnung sind. Für v = -^, d. i. für die Kugelfunctioueu, verschmelzen 

 diese beiden Sorten von Relationen in eine, da die Näherungsnenner und Restfuuctionen der Kettenbruch- 



entwicklung von log 



1 



particuläre Integrale derselben linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung sind. 



^^ l-.f 

 Bezeichnet man die Näherungsneuner und Restfunctionen der Kettenbruchentwicklung: 



•^"'■'^(l;y.^+l>'^-'') 



1 



1 



X — 



2(v-Kl) 



•1 



2(v-h1)(v-(-2) 



fw— 2)(>.-t-2v— 3) 

 4 (»j -H V— 3 ) (tt -4- V — 2 ) 



(m-1)(«-i-2v-2) 



4(m-i-v — 2)(«-i-v — 1 ) 



mit '^„(.'•) und /'„(,e), so ist: 



Nach einem bekannten Satze aus den Elementen der Theorie der Kettenbrüche ist: 





Il(«— 1) ll(«-t-2v— 2) 

 2-''-ä(tt-t-v— l)II(2v) Ul(i 



r ii(v) 1^ 



lll(w-l-v— 2)J 



und daher 



85) 



« C'',',(x) , G\^i(x) 



( « -H 2v — 1 ) />i+a, _ i ix), A1 +2. - :; (.-t-') 



ll(-v) 



2^v-i n(v— !)■ 

 Verbindet man diese Relation mit der Gleichung 80) und der ihr entsprechenden Formel ; 



8H) (>*— 1) ii,',+;,_3(x) — 2(/«-t-v— l)x- A!+-lv-'i(j;) -f-(«-f-2v— 1) 2> ',+;,_,(.(■) = 



so erhält man sofort: 



(«-f-v— i)ri(— v) 



87) 



nC\{x^ , (w-i-2v-2)C;:_,(.-c) 



(« -t- 2v— 1 )Z>'~:,_,t^,r), («— 1 )Z)'+2,_3(j;) 



Aus den zwei Relationen 85) und 87) ergeben sich die folgenden ; 



22-'-Ml(v-l) 



■ X. 



«ö, n<-' ^^ n(») ll(2v-l) n(-v) 1 



88J Z>„+.._,(x-)- 2;nu + 2v-l)ll(v) ^"(^) ^-' i^ (1, y, V + 1, 0, -) 



_ ii(-v) n(«) c;;(cc) 



V _ 



n(/n-2v— X— 2) 



2^"-' ri(v-i) n(«+2v-i) -.^ ii(,«_x) ciU(x) C'i;_,_,(.c) 



00^ 



