314 



Leopold Gegenbauer. 



die lineare Diffeientialffleicliuug zweiter Ordnung; 



w 



i" -+- 2vw' cotang « h- \ n(n -+- 2v) — 



P[P 



2v— 1> / 2v— 1>, 



IV ^0 



oder, wenn man: 

 setzt: 



sin <x 





{ (v -i- p -H (t) cos a -+- <j — p] v' -+- (n — p — a) (ti -i- p -i- a -\- 2v) v =: 



welche Gleichung, falls /;. als unabhängige \'ariable eingefüiirt wird, in die folgende übergeht: 



2v — 1 



lj.(\—p.)v"— V -f- 2(7 -t- -^ (2v -+- 2p -H 2ff -t- l),u. y' -i- (« — ps) (« -i- p -4- a -t- 2v)v = 0. 



Aus dieser Gleichung folgt sofort : 



V = c"]l F(p-]-a — n, p -t- a -t- « -)- 2v, 2a-hv -h ^, sin^ -g-j 

 so dass man also hat: 



110) C';(Xcosa;-H(jicoS2/) = } c^lll''lJ.''F(^p-{-a—n,p-ha-^-n-{-2v,2<!-i-^/-h^,lJ^C^.* {cosx)Ca* (cos«/) 



p. " 



wo die Grössen c";, von «, x und y unabhängig sind. , _ ^ _| 



Um die Constanten c"'l zu bestimmen, multiplicire ich die Gleichung 110) mit sin - x sin - ydxdij und 

 integrire bezüglich x und y von bis r. Dadurch ergibt sich die Relation: 



/2v— 3> 



s „V r , / « ^ 1 ^ (4pH-2v— lj(4(j-4-2v— l)n(p)II(<j) 

 in)c;::'j!'i.^ F[p-^c-n, p-^.^n^2.,2a+.-^-, ,)^^-l \ \^^^^' 



2-+<ii(p+^n(.-H^ Ln(-^) 



„ /2v— 3>, 

 n(-2-)l 



2v— 1 2v— 1 



6',',(X cosx--+-pi cosy) Cp * (cosa!)Ca* (cos y) sin ^ a; sin * ydxdy. 



Berücksichtigt man die von mir mitgetheilte Formel: 



/»it /»t 



JKcos X) C^icos x) sinV ^^^ = |^^n(ß^pS^|^ ^^ ^^'^""' ' ^^^ 



so kann man diese Gleichung auch in folgender Gestalt schreiben: 



112) c";'^ F\p-\-<}—n, p-\-a-\-n-^2v, 2ff -i- v -i- -^, pi j = 



22p + 2.-2V + 3 n(v -1- p -I- a- 1) n(p H- ?^) n(<7 + ^^) [n(?^)] 



n(v— 1) n(2(j 



^)"(%-^)[n(^)]' 



JoJo 



2v— 1 2v— 1 



' "^P"*"' /"^ /»na ^_i_ II nnu 4i^ ein 2 -r «in 2 ydxdl/. 



C^lp^^(Xcosa;-(-picos«/) sin ^ a; sin 



