Zur Theorie der Functionen C^(x) 



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Ans dieser Formel ersieht man ziuiäclist, dass (-"'^ nur dann einen von Null verscbiedenen Wert haben 

 kann, wenn p und a so beschaffen sind, dass n — p — ff positiv und gerade ist. 

 Setzt man in der Gleichung 112): 



^ = 



so verwandelt sich dieselbe in: 



22p- 



113) 



.,..n(.^P^,_,)n{p^^)n(.*?^)[n(^)] 



p. '^ ' 



„(.-r,„(2.^^)„(2,^^)[„(^)] 



Sin 



2j + - 



oder: 



114) c"-: 



2v — lA 



2— -^n(.+f+._-i)n(f+H^)n(,-.5:=irn(: 



^ ydyj C,',Lplj (cos a;) sin 

 2v— 1 /2v— 3 



2p- 



2v — i 



:c dx 



„(v-l)„(2p^^)K2,^^)]' 



/2v— ö\ 



i: 



2p- 



2v-i 



C^_pt° (cosa;)sin ^ xdx 



welche Gleichung, wenn man das Integral auf der rechten Seite nach einer bekannten Formel aus der Theorie 

 der Functionen C',',(x) berechnet, nach einigen Reductionen in die folgende übergeht: 



115)c 



(4p H- 2v — 1) II(« — p -t- ff -H 2v — 1) ll(n -h p-hr}-h 2v — 1) 



2v— l\„/2v— 3v' 



„/2v— 1\ „/2v— 3> 



n(2v— 1) 



Man hat also schliesslich die Entwicklung: 



116) C,l(Xcosx-f-^cos</) = 



V 



n(-V)"(^) 



2 L 2"+in(2v— 1) 



ri(«— pH- ff-i- 2v— 1) n(w -i-p -I- ff-4-2v— 1) 



,c n 2ff-H 



2v— 3 



^n/""— ,^— '^^n/'«-'-p-^<^-*-2v— 1 A /«— p-Hff 2v — 1> /«-l-p— ff 2v— lA 



(4p-i-2v— 1)äV i^(f-t-ff— «, p-l-ff-+-M-+-2v, 25-t-v-t--^, pLJ C'p * (cosa;)Cc * (cos«/) 



wo: 



X~\-u.= 1 



ist und die Summation über alle ganzzahligen positiven Wertsysteme p, a auszudehnen ist, für welche u^p — ff 

 eine gerade, nicht negative Zahl ist. 

 Setzt man in der Gleichung 116): 



1 



V = 



2 



PP' 



