Beitrag zur Ausmittlung des Wertlies bestimmter Integrale. 319 



oder, wenn man beachtet: 



^_1_ J^ 1_ jr 



2 6 "^ 10 14 "^ 8 



so ist: 



l-t-6' . r 1 1 1 1 



26 



.J 



_r_l 1 1__ 1 1 1 , 



[- 1 3 5 7__ 9 11 1 



Es handelt sich nun um die Auswerthung der Reihen in den eckigen Klammern, und diese kann auf nach- 

 stehende Weise bewerkstelligt werden. Es ist bekauutermassen : 



cos X cos 2x cos 3a; cos -ix 1 k e'^'-i-e"'^ 



? (^? °) = TTTTä" — 92—12" "^ 



V-^b'' 22-h6* S^'h-ö^ 4^-1-62 26^ 26 • e*'^— e-« 



Wird hier a; durch ;; — x ersetzt, so hat man für die Reihe mit lauter positiven Gliedern: 

 cos j: cos 2a; cos 3a; cos 4a; 



l^-t-i« 2^-+-h^ 3^-1-62 



Es ist ferner die Summe der geraden Glieder : 



cos 2x cos 4a; cos Ga; 1 cos 2x cos 4a; cos 6a; 



2^-4-6^ 42-^6^ 6^+6^ 4/ , b^ ', h^ '. b^ 



a^+_ 2^+^ 3^^-- 



= -^?(— 2^,|-)- 



Die zwei letzten Gleichungen durch Subtraction vereinigt , geben : 



cosa; cos 3a; cos 5a; 1 / c, 6 \ , , .. 



12^_i2 ^ 32h-6« 5^h-62 



?r _ e - ' — e 



^ 2 I /i 2 



und durch Differentiation der letzten Gleichung nach x erhält man alsogleich : 



sina; 3 sin 3a; 5 sin 5a; tt ß - -<-ß 



12_,_i2 3^-+-6'' ö^-t-ö^ ' ••• 4 • 'JL -iü ■ ^ 



e ^ -i-e ^ 



Aus den Gleichungen §) und s) gehen durch Substitution von -c = x die Wei'the der zwei eingeklam- 

 merten Reihen ohne Mühe hervor. Es ist nämlich: 



1 1 1 1 1 __K__ ^-^ 



l2_t_J2 32_^J2 52_^J2 ^ 72^J2 -- 92_j_J2 ■•• £6 V^ ' ^ -- 



e^ -i-e ^ 



12_H62 32_^?,2 52_f_J2 72^J2 -<-••• g^ ^g 





ÄK 67: 



