Beifrag zw' Aunmitfliinr/ des Weiihcs bestimmter Integrale. 



Die Glieder der eingeklammeiteu Reihen haben die Form: 



2.C+1 



und lassen sich, wie folgt, in Partialbrüche zerlegen: 



321 



2x-\ _ 1 r_ 1 



2.(,-— 1 



1 



a;[(2a;— 1) 

 2.r+l 



2. — - 1-2^2 - ■■ 1 



(2.r— lj^-+-ft2 ^ (2.v—lY+b^ J 



1 rl_2.. 2--^! 



-2b-' 



x[C2x~hlf + b^\ l+iM.i.' " i2.-r-hl)^H-ft2 ' "" (2:i-hlf + b''\- 



Nach ausgeführter Zerlegung der einzelneu Theile in Partialbrüche erhält man alsogieich: 



r 1 1 ]__ 1 1 1 



m) 



") 



2 Ll'-'^-ft^ 3" 



[t 



1 



■-\-b^ S'-i-b^ b^-^b^ V^V' 



■]■ 



Es sind dies dieselben Reihen, deren Werthe bereits unter X] und y.) ermittelt wurden. Man findet daher 

 mit Berücksichtigung dieser zwei Gleichungen nach kurzer Rechnung für das Integral J' den Ausdruck: 



J = I arc cotga?* cos {h lg.-r) dx = \ arc tg — cos {h lg x)dx 



[bK br.-i 



(I-i-/-)e*-(-(l— ?i)e *J 



5) 



bv. bK\ 



^2(l^-6*j(eVe V 

 Aus Gleichung C) erhält man noch das Resultat: 



I (e' — e~') arc tg e~'^' cos bz dz = 



]/2{i^b') 



br. 



{l-hb)e*-^(l-b)e " _1_ 



-He 



ö) 



und für i := 1 folgt noch aus 5) und 6) 



arc cotg .1-^ cos (Ig.r) d.r = I arc tg —^ . cos (lg x) dx 



ne 



jT«--e-'-) 



arc tg e~-' cos 



lA2(l+e-") 



... ^r ^e"' _l\ 



^~ 2iA9 '-iH-e-^ 1/2 -* 



2^2 



r) 



8) 



Ahnlich wie die Integrale Jund J' lassen sich auch noch die folgenden Integrale behandeln: 



j '" x' 



COS(?<lg.l')rf.J-' 



Delikscliiiftt-n ilt-r mathem.-naturw. i'.\. XI.VIII. Bd. Aliliiinrllimgi-u vou Niclitmitglicdcni. 



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