Beitrag zur AusmittUmg des Werthes bestimmter Integrale. 



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und daraus ergibt sich : 



roo 



\g{l-\-e~~)a\ü.hzdz ^= 



27) 



«^-+-6^ 



hsmaKie'"' -\-e~'"') -\-a cos«rt(e*='— g-*^) ah 



e^'^-t-e--'^ — 2 cos 2a7r 



a^^b' 



In 26) und 27) muss a positiv und kleiner als 1 vorausgesetzt werden. 

 Das nachstehende Integral : 



=r 



J= I e-'-"lg(l-i-e-^-'")rfa', 



aus welchem eine Reihe anderer Integrale abgeleitet werden kann, lässt sich leicht ermitteln, wenn der Loga- 

 rithmus unter dem Integralzeichen durch eine unendliche Reihe ausgedrückt wird. Es ist dann: 



lg(l-l-e--^+"'; = e-^+"— _ e-2.<:+2=.<_^ 



3 4 5 



Werden hier die Exponentialfunctionen mit imaginären Exponenten durch trigonometrische Functionen 

 ersetzt, so geht J über in: 



r°° 1 1 



J= I e-'-^(e--''cosa — - e^--^cos 2a-H ^^e-^-^cosS« — ...')dx-+- 

 J ^ 2, 6 



r°° 1 1 



ij e-'-'(e--^sina — ^j- e---^sin2aH- ^e-^-'sinS« — . . .)dx 



coscc cos2a cos3« 



cos4c 



Ll-Hi 2(2-f-Z/) 3(3-1-6) 4(4-4-6) 

 sina sin 2« sin 3« sin4cz 



l-f-6 2(2+6) 3(3-h6) 4(4-j-6) 



Der Logarithmus unter dem Integralzeichen lässt sich bekanntlich folgendermassen umgestalten: 



lg(l-t-e--^+'") = lg(l-i-e--^cosa-t-/e-"'sina) = 



1 1 /i c 9 N • . e--^sin« 

 — lg ( 1 -1-2 e^-'' cos «-(- e^''-^) -+-i arc tg . 



Daraus ergeben sich alsogleich die Werthe der zwei Integrale: 



g-4x Jg. (i -|-2e--''cos a-He---^)f/.r = 



sin« 

 e- ''■^ arc tg -:: dx 



sina sin 2 a sin 3 a sin 4 a 



e-'^-Hcosa? l-t-6 2(2-^6) 3(3-h6) 4(4-f-6) 



1) 



2) 



In 1) und 2) muss: — 1 <:6<:-)-oo angenommen werden. 



Denkschriften der malliem.-naturw. Gl. XLVUI. Bd. Abhaudluagen voa Nichtmitgliedern. 



