Beitrag zur Atisniiffhdif/ des Werthes bestimuttcr Integrale. 

 Werden die Gleicliuugeu 2) und 4) durch Subtraction vereinigt, so liat mau: 



/ 



/gäx — g-tx\ a,rc tff dx 



\ / o öX 



2h 



sm« 



siüi;« 



e^-HCOSa 

 sin 3« sin 4« 



lü_j2 2 (2^— i*) 3 (3*— 6") 4(4*— 6*) ' " 

 Um den Werth der eingeklammerten Reihe zu finden, gelie man von der bekannten Gleicliung aus: 



cos« 



cos2o 



cos 35 



cos 4a 



12_68 2^—6« 3"— 6^ 4^—6^ 



1 /-T COS?)a 1 

 2h\ sin OTT h 



und integrire von bis a nach a., so folgt alsogleich für die zu berechnende Reihe der Ausdruck: 



sma 



sin 2a 



sin3c 



sin 4« 



1 (I2_ft2) 2 (2*— 6*) 3 (3^— &*) 4(4^-6^) 



lind das vorliegende Integral hat den einfachen Werth: 



1 / IT sin Ja 



1 / ;rsin6a 



2h^\ smhK 



l 



(e*^ — e-'^) arc tg 



sina 

 e^-4-cosa 



■dx = 



H- 



sin 6/T 



-aj; — ;r 



< « < H-n:. 



10) 



Die letzte Gleichung geht durch Vertauschung von (,t — a) mit a über in: 



/°°, . . , sina , 1 r;rsini(;r — a) i 



^ ' *e^— cos« hV^mhK J' 



11) 



10) und 11) durch Addition verbunden geben: 



/ 



r K IN ^ 2 Sin « , TZ 



igbx — g-sx-^ arctg dx= r- 



cos 



(!-") 



6;r 

 COS- 



1 



12) 



Ftir « = ö und für « = -r folgen beziehungsweise aus den Gleichungen 10) und 12) die einfaclien 



Resultate ; 



nnd: 





{e'"' — e-'"') arc tg g-^ dx = ^ ("sec -^ 1\ 



r hn 

 cos— - 



(e*-^ — e-''')arccotg(e^ — e-'=)dx=--r -^ 



— 1 



cos- 



13) 



14) 



Durch Addition der Gleichungen 2) und 4) erscheint das nachfolgende Integral durch eine unendliche 

 Reihe ausgedrückt, welche sich ebensowenig wie die Reihen in 1)-, 2), 3), 4), und 9) durch einen geschlos- 

 senen Ausdruck darstellen lassen. Es ist also : 



r 



J 



AN Sina , 

 (e'^-t-e-*-') arc tg -^^ dx = 



sina 



r siua siii^ 



e^-+-cos« 



sin 2a sin 3a sin4o 



15) 



-+- 



32_i2 42_;,2 



]• 



rr' 



