r (r + q) 



>-S 



322 C. Hillc b r a ii d , 



f _2^ \ 

 cos- 'f = i 1 



ein Resultat, dem folgendes zu entnehmen ist: 



In einer gegebenen Distanz r von der Sonne gehört zu jeder Richtung 'f eine ganz bestimmte relative 

 Geschwindigkeit ^i,', wenn der resultierende Kegelschnitt eine vorgelegte Periheldistanz q haben soll; den 

 geometrischen Ort sämtlicher einem bestimmten q zugehöriger Geschwindigkeitsendpunkte erhält man 

 durch die Substitution von 



i =-g cos !f Tj = ,i; sin 'f 



in die letzte Gleichung, wodurch diese die Form annimmt 



2 (r-q) 



= 1 



r (r + q) rq 



das ist die Gleichung einer Hyperbel. Da nun um die Richtung r die Verhältnisse symmetrisch liegen, so 

 ist der Ort der Endpunkte sämtlicher Geschwindigkeiten, aus welchen dieselbe Periheldistanz q resul- 

 tiert, ein einmantliges Rotationshyperboloid, dessen halbe Querachse 



V '' {r + q) 



ist, dessen imaginäre Achse (die Achse der Rotation) den absoluten Betrag 



hat imd nach der Sonne gerichtet ist. 



Bezeichnet man mit '1 a den ÖlTnimgswinkel des .Asymptotenkegels, so ist 



q 



sm a := 



r 



Daraus folgt unmittelbar, daß zu einer kleineren Periheldistanz eine kleinere Querachse und 

 ein kleinerer Öffnungswinkel gehurt, das heißt aber nichts anderes, als daß die Geschwindigkeiten, 

 welche kleineren Periheldistanzen entsprechen, innerhalb dieses der Größe q entsprechenden Hyperbo- 

 loides liegen müssen. Versteht man nun unter q jene Periheldistanz, die der erfahrungsmäßigen Grenze 

 der Sichtbarkeit entspricht, so bedeviten sämtliche innerhalb des so definierten Rotationshyperboloides 

 fallenden Geschwindigkeitspunkte die Gesamtheit der von jenem Orte ausgehenden sichtbaren Bahnen, 

 Es wird sich nun darum handeln, die Relativzahlen der Bahnen verschiedenen Charakters irmerhalb dieses 

 hyperbolischen Raumes zu ermitteln. Setzt man die halbe Querachse 



r(r + <7) ~'^'" 



so wird jede Geschwindigkeit ^^,^u die Sichtbarkeitsbedingung erfüllen; man kann also bei der Ermitt- 

 lung der Häufigkeitszahlen über sämtliche Richtungen summieren; für Geschwindigkeiten ^i;' > ,i,'„ wird 

 aber die Maximalabvveichung 'f von der Richtung r durch die Hyperbelgleichung gegeben, aus welcher 

 wie oben folgt 



wodurch die Grenzen für die Summierungen für g > g^^ definiert sind. 



