Bahnforiii und Ursprung der Kometen. 325 



Ist ferner m die tägliche siderische Bewegung der Erde, A/ die Anomalie zur Zeit der Perihelpassage 

 des Kometen, so ist '£ ^ M + uit, wo M und mt wieder Größen erster Ordnung sind. Die Substitution 

 dieser Größen in [j^ ergibt bei Einhaltung der festgesetzten Genauigkeitsgrenze : 



p^ =: a- + q- — 2aq cos M + 2aq sin .1/ {ni—n cos /) t + aq (ni- + ;;- — 2ntu cos /) /'- + 



-t 1 il — ^)^^ ^ ^^• 



q — a 



Setzt man =: a und beachtet, daß dies eine Größe erster Ordnung ist, so erhält man weiter 



a 



' a-— sin^ M = 2 sin M {m - n cos /) / + {m- + n-—2 m n cos i) VK 



Soll nun bei einer vorgelegten parabolischen Bahn eine bestimmte Annäherung p tatsächlich ein- 

 treten, so muß diese Gleichung reelle Lösungen / haben, das heißt, es muß 



sin- M.{m — n cos /)- + {ni~ + n- — 2mn cos /) —'s-— sin^ m\ ^ sein. 



Das bedeutet eine Bedingung, der die Größe 71/ genügen muß. Es wird dadurch ein bestimmter 



Bereich der Erdbahn abgegrenzt, innerhalb welchem die Erde im Moment der Perihelpassage des Kometen 



stehen muß, damit die geforderte Annäherung p zu Stande kommt. Es sei 4> dieser Bereich — in Teilen 



des Radius ausgedrückt — dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß in einem gegebenen Momente die Erde 



1 

 innerhalb desselben steht ~' <I>, und das ist zugleich die Wahrscheinlichkeit, daß bei dieser parabolischen 



Bahn eine Annäherung p stattfindet. Eine Ausdehnung dieses Kalküls auf sämtliche / und sämtliche 

 in Betracht kommenden Werte q wird dann die Wahrscheinlichkeit der Annäherung p überhaupt ergeben. 

 Die Grenzwerte für M erhält man, wenn man die obige Diskriminante gleich Null setzt, woraus 



. ,,, /p'^ „\ ui- + n- — 2mncosi 



sin- Mj =: M a^ • 



\a'^ j ■ II- sin-/ 



folgt. 



Der erwähnte Bereich wird demnach definiert durch d= -1/,, daher ist $ ^ 2 A/j und die Wahr- 



scheinlichkeit w der Annäherung == — , oder, da man den Sinus mit dem Bogen vertauschen kann; 



w ^ — ). / ' a^ ■ '-. v/ '"" + "' — 2iini cos /. 



- V ^J" " sm i V 



Nun ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Pol der Kometenbahn die Länge A und die Breite / hat, ^ 



1 1 



— sin / di d A, daher die Wahrscheinlichkeit des Vorkommens der Neigung /: ^ sin / di. Es wird dem- 



nach die Wahrscheinlichkeit T' der Annäherung p bei sämtlichen Bahnen einer gewissen Perihel- 

 distanz q, deren Neigungen zwischen /, und /., liegen 



1 r ' • 



=: — I ;/' sin / di sein, oder 



1 /p'^ „ ( '' I nt^ ^ ni . ,. 



F=~v/',— aM v/l +-, — 2 — cos i J/. 



Das hier auftretende Integral ist ein elliptisches Integral zweiter Gattung, zu dessen Auswertung 

 die bekannte Reihenentwicklung der Carnot'schcn Formel herangezogen werden soll. 



