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C. H il l e b r a n d , 



jedenfalls bestehen, wenn es sich um relative Geschwindigkeiten handelt, welche merklich parabolische 

 Perihelbögen erzeugen. 



g 



Setzt man noch — = ß, so hat man unter dieser Voraussetzung den Ausdruck 

 u 



uD' 



ß2 sin rpJcp ^■d^j 



+ ß^ — 2ß (cos 'f cos X + sin tp sin X cos {>) 

 bezüglich & von bis 2it zu integrieren. Man findet nach der Formel 



'Z't d^ 2ir 





a — b cos %■ sja^ — i^ 



wenn a > b, eine Bedingung, die wegen 1 + ß^ > 2 ß cos (tp — X) immer erfüllt ist: 



— u D ß- d ß d (cos rp ) 

 vy(l 4- ß2) 2_4ß2 sin2x_4ß (1 4- ßs) cos X cos (p + 4 ß^ cos^ ^ 



wenn 2t: D' ^ D gesetzt wird. 

 Nach der Formel 



/; 



dx 



= = — ~ lo^ 



\/a + bx + c x'^ sjc 



\/a + bx + cx" + xsJc + — ,-^ 



2\/c 



(für positive c) erhält man als Resultat der unbestimmten Integration nach rp 



— — Z) ß J ß log [\/(l + ß2) 2 — 4 ß- sin- X— 4 ß (1 + ß-) cos X cos 'f + 4 ß« cos'-* 9 + 2 ß cos 'p — 



— (1 + ß2) cosX]. 



Die Integrationsgrenzen sind verschieden zu bestimmen, je nach den in Frage kommenden Werten 

 von g, respektive ß. Bezeichnet man wie in Nr. 1 die halbe Querachse des Hyperboloides mit _§■„, respektive 



— = ßii , so ist für alle ß ^ ß,, über die ganze Kugeloberfläche zu integrieren, man hat als Grenzen für 'p 

 u 



und % einzuführen, wodurch man erhält 



'H-ß\ 



7(Z;ß^/ß log 



i-ß 



Demnach ist die Zahl der Geschwindigkeiten von bis ßg 



7V(0 



, ßo) = «Dr 



P» / 1 + ß 



ßJßlog(._^^ 



ßo 



'^noJ'^^- 



l-ßo 



uD. 



ßo ist eine sehr kleine Größe. Es ist klar, daß dieser Ausdruck dritter Ordnung in ßo sein muß. Ver- 

 nachlässigt man höhere Potenzen, so wird sehr nahe gesetzt werden können: 



^(0, ßo)=4"^^»- 



Es soll nun die Integration fortgesetzt werden von ß,, an bis zu jenem Wert ßp der der Grenz- 

 geschwindigkeit der merklich parabolischen Bahnen entspricht. Für diese Werte ß > ßo hat man 'p von 

 Null bis zu jenem Werte 'po zu nehmen, der dem Durchschnitt der Kugeloberfläche ß mit dem Rotations- 

 hyperboloid entspricht. 



Dieser Winkel 'po ist nach Nr. 1 gegeben durch 



cos 'Po 



v' 



1 — 



ß^ 



