Bahnfonn luul Ursprung der KoincUii. 371 



Für die untere Grenze 'p = erhält man 



— jf D ß ^ ß log [(1 — cos l) { 1 + ß)^]. 



Die Einführung der oberen Grenze verursacht insofern eine Schwierigkeit, als dadurch eine Funktion 

 von ß resultiert, die in geschlossener Weise nach dieser Größe nicht mehr integriert werden kann und es 

 nun notwendig ist, eine integrable Entwicklung von genügend rascher Konvergenz zu finden. 



Es werde das Argument des Logarithmus für 'p^, mit F bezeichnet, so daß 



F = v/(l + ß^)^ —4 ß2 sin2 X — 4 ß (1 + ß^) cos X cos tp^ + 4 ß^ cos^ r^^ + 2 ß cos %~0 + ß') cos X. 



Setzt man weiter 



1 — 2 ß cos X + p = X, (1 + ß-) cos X — 2 ß = y, 



4ß sin^-^ = z, 



Li 



so sieht man zunächst, daß das analoge Artiumcnt für die untere Grenze = A' — Y ist und daß weiter 



F— \JX' + 2 1 i' + i^ — y 



r. 



Wie schon in Nr. 1 bemerkt wurde, ist- = a eine sehr kleine Größe und ß^ von derselben Ord- 



r 

 nung. Da aber ß- sin'-^ tp„ =:: ßj^ (1 — a-) — ßj^a- ist, so ist ß sin (p^, von derselben Ordnung und wegen 'f^ < 90° 



und sin' -^ < sin rp^ auch t von der Ordnung a. Nimmt man mit Rücksicht auf die Näherung der früheren 

 Integration vorläufig auch noch •:•' mit, so ergibt sich 



„ ,, y ^-^ x'-Y' t3 x^-y^ 



f = A + r . H • • y Y— t = 



A' 2 A^* 2 X' 



= (A-y) 



] z' A+y r^ ^X+Y 



1 — T . — I • y 



X 2 X^ 2 X= 



Da A — y das Argument für die untere Grenze ist, so fällt beim Übergang auf die logarithmische 

 Funktion dieser Faktor weg und man kann schon mit Berücksichtigung der unteren Grenze setzen 



^ , 1 t^ A + y t3 A 4- y 

 F=: 1 — T 1 • y. 



A 2 .Y3 2 X" 



Entwickelt man logF wieder bis Größen dritter Ordnung, so erhält man nach leichten Reduktionen 



, ^ 1 T^ Y z^ X^ — 3Y' 



log F = —z . 1 ■ 1 • • 



A 2 A'^ 6 X" 



Man sieht nun sofort, daß man schon das zweite Glied vernachlässigen kann; es enthält den Faktor 



'S/ 



ß- sin' '" , durch Alultiplikaüon mit ß</ß und Integration wird ein Ausdruck von der Ordnung ß' sin' «, 



das heißt a' erhalten werden, der nach der früheren Festsetzung zu vernachlässigen ist. 

 Die Zahl der Geschwindigkeiten zwischer ß,, und ß, wird daher gegeben sein durch 



'^ Jx A 



