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C. H il Icbr a n d , 



Die Entwicklung von — nach Potenzen von ß ergibt 

 Ji. 



1 . sin 2X„ sin 3X„„ sin 4X 



— = 1 + ß + ß^ + + . . . . 



X sin X sin X sin X 



Summiert man über beide Seiten des Hyperboloides (die der Sonne zugekehrte und davon abgewendete), 

 so annullieren sich die Koeffizienten der ungeraden Potenzen. Es ist daher 



iV(ß„, ß,) = 2KZ) ßJßsin^' 



'■Po 



sin 3X„„ sin 5 X ^^ sin 7X,, 



ß 4- ß3 + ß^ + ß' + . . . 



sin X sin X sin X 



Nun kann man offenbar das Glied mit ß' vernachlässigen; da ßj eine Zahl ist, die durch einige Ein- 



'■Po 

 heiten der zweiten Stelle gegeben ist, so wird ßf von derselben Ordnung wie a sein; ß^/ß sin- -^ ergibt 



durch die Integration eine Größe von der Ordnung a-, daher stellt das Glied mit ß' eine Größe höherer 

 Ordnung als a^ dar. Nach den obigen Relationen kann man für das erste Glied setzen 



2ß2^ßsin2-^ = ß^^ß(l — V^l— a^ v/l-S 

 Die Integration und konsequente Einhaltung der Genauigkeitsgrenze ergibt 



2r'ß'^^ßsin^-| = ß^ß, 



3 ßi 3 'Uo 



Man erhält ebenso für das zweite Glied 



2 2 3 



und 



2 1 ^^ d ß 



t/p. 



2 p'ß'^^ß sin-^ 



5 Hßo 



^ ^ ß^ ß-"* 



2 b^'^'' 



Führt man diese Ausdrücke in N ein und bedenkt, daß durch Vertauschung von 180° — X mit X 

 nichts geändert wird, so erhält man als Gesamtzahl für beide Richtungen des Hyperboloides 



iV(ß„, ßO = «D|ßf,ßi 



3 ,., / a 



sin 3 X 1 , sin 5 X) 



sm X .1 sm X j 



Addiert man den oben gefundenen Wert für A^(0, ß„) dazu, so wird die Zahl sämtlicher Geschwindig- 

 keiten zwischen und ßj und demnach die Zahl sämtlicher merklich parabolischer Bahnen 



A^ (0, ßJ = u £> ß2 ß. <; 1 + ^- ß? fAJ'+ 1 ß'^ 



3 



nßo/ 



sin 3 X 1 



in X 



j^ sin oX I 

 sin X j 



Es soll hier noch bemerkt werden, daß diese Formel auch gültig ist für kleine X, respektive X ^ o. Es 

 ist in letzterem Falle 



1 „„ 3 



ßi^ + — 

 3 b I 



N(0, ßj)>,^o = «Z)ßi(ßi 



o.i ^ 0^) + uDoi-'[ ß'>-i-— ß'J • 



Pi -1- H 



14. 



Soll die Summicrung bis zu einer Grenze ß ausgedehnt werden, für welche die bisherige \^oraus- 

 setzung bezüglich der Größenordnung nicht mehr zutrifft, wie es bei der Ermittlung der Zahl sämtlicher 



