Bahufonu und Ursprung der Kometen. 373 



möglichen Bahnen der Fall ist, so kann man dieselbe durch die Grenze ßj in zwei Teile zerlegen: für 

 die VV^erte von bis ßj ist das zugehörige A' bereits durch den letzten Ausdruck gegeben; für die Werte 

 ß > ßj bis zu einer beliebigen endlichen Grenze hat man aber ein anderes Entwicklungs-, respektive 

 Integrationsverfahren einzuschlagen. Dasselbe ergibt sich durch den Umstand, daß für diesen Teil der 

 Summe der Winkel -p eine kleine Größe ist. 

 Wie aus dem Grenzwerte 



hervorgeht, ist 'f von der Ordnung 



cos-p„ = y/l-a^'yi-|| 



I 



Ho 



Da ß„ und a von der Ordnung ß^ sind, so ist für die untere Grenze ßj die Größe dieses Winkels 

 mit ß-J, für eine beliebige, endliche obere Grenze aber mit ß| vergleichbar. 

 Als Resultat der Integration nach 'v hatte man erhalten: 



— — DßJß log F, 

 wo 



F — \/(l + ß'O^ — 4 ß sin^ X — 4 ß (1 + ß'^) cos \ cos rp + 4 ß'^ cos- tp + 2 ß cos 'f — (1 + ß-) cos \, 



worin für 'p die Grenzen und 'p^, einzuführen sind, oder, wenn cos-' tp m 1 — a gesetzt wird, a ^ und 



a =: -!^- + — , so daß die obere Grenze von der sechsten oder höheren Ordnung in ßj ist. Da, wie man 

 ß- r- 



sofort sehen wird, die Berücksichtigung von a- mehr als ausreicht bei den oben festgesetzten Genauig- 

 keitsgrenzen, so wird cos cp ^ 1 a — - a- und 



^ 2 8 



F — V / (1 - 2 ß cos X + ß2)2 + 2 ß T [(1 + ß-) cos X-2 ßl + ^ ß a^ cos X (1 + ß'^) 



+ 2ß — (1 +ß-^) cos X — ßa ßa^ 



4 



Setzt man nun für den Moment wie oben 



A'=; 1— 2ß cos X + ß- , Y— (1 + ß-') cos X— 2ß 



und weiter 



so wird 



X— y=(l-cosX)(l+ß)-'^=£7 , A'+ ^'= (1 + cos X) (1 — ß)2=i;7. 



= ^A'^' = 2 ßa Y + Iß^^' (y + 2ß) - y- ßa -^ßa^^ 



= A'[..^ß,^ + lßa-3^:±^--iß^o^^^ 

 [ A'' 4 X^ 2 A^ 



ßa 1 ßa-' 1 ß-'o- 



— q — q-^ <i- 1 qp~ • 



A 4 A 2 A3 



ßa-^ßY^ 

 4 



Nun ist q nichts anderes als der Wert von F für die untere Grenze, fällt also wegen der 

 Funktion logF bei der Einsetzung der Grenzen weg. Substituiert man daher für F einfach die Funktion 



l_a.±_ 1 ß^'V, 2ßp 



X 4 A \ X' 



so sind dabei die Grenzwerte von 'i schon berücksichtigt. 



