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C. H illebr and , 



Entwickelt man den Logarithmus bis inklusive a-, so wird 



1 aV. ^_2ß^^ 



dN' 



■ D ß- d ß 



1 



X 4 



X 



X X'} 



Die frühere Formel wurde bis Größen von der Ordnung ß',' inklusive fortgeführt, abgesehen von 

 einem Faktor von der Ordnung ßg, der naturgemäß hier überall auftreten wird und für die relativen 

 Anzahlen der einzelnen Bahngruppen irrelevant ist. Bei Einhaltung der gleichen Genauigkeit genügt die 

 Berücksichtigung des ersten Gliedes. Für die untere Grenze ßj ist o von der Ordnung ß^, also ß^o von der 

 Ordnung ß^: sieht man wieder v'on diesem Faktor ab, so hat man für 



X \ X X^ j ' 



als die Größenordnungen nach der Integration 7, respektive 8. 



Für die obere Grenze ß, welche mit ß-' verglichen werden kann, ist a von der Ordnung ßj;, so daß 

 zur Beurteilung der fraglichen Glieder der Ausdruck dient: 



^ \ X X' 



da nun 2 — 1. und — 0. Ordnung sind, so sind die Ordnungen wieder 7 und 8, also wieder zu 



.Y A' X 



vernachlässigen. Es genügt demnach auf jeden Fall 



u a 



dN = ~ Z)ß- — d[i 

 2 X 



zu setzen, oder 



dN=^-D '^ 



2 1 — 2 ß cos X + [i-'- 



PÜ + ß^ ■ 



Die Integration dieses Ausdruckes läßt sich in bekannter Weise ausführen. 

 Das unbestimmte Integral ist 



2 U 



ß„2 +-^-(2cos-^X-l) 



1 



sin X 



arc tg 



ß — cosX'^ _ q 

 sin X 



-- [ß + cos X log (1 — 2ß cos X + ß-)] 



Darin ist nun die untere Grenze ß,, die Maximalgeschwindigkeit der Bahnen mit merklich para- 

 bolischem Charakter, einzuführen, anderseits als obere Grenze ein ß, das von der zulässigen absoluten 

 Maximalgeschwindigkeit abhängt. Diese letztere macht für den Endraum des Hyperboloides ein anderes 

 als das bisherige Integrationsverfahren erforderlich, deshalb soll für den Moment von der Einführung der 

 Grenzen Abstand genommen werden. 



Der eben gefundene Ausdruck für A^ ist aus der Integration nach 'f zwischen den Grenzen und 'fg 

 entstanden, bezieht sich daher nur auf die gegen die Sonne gerichtete Hälfte des Hyperboloides; für die 

 entgegengesetzte hat man von :c — 'f^, bis tt zu integrieren und erhält auf die gleiche Weise wie oben 



A^'= — D / ß-^ + ^' (2 cos-X-1) 



1 /ß + cos X\ 



-^ arctg M^ . - + 



sin X \ sm X / 



+ ^ [ß -cos X log (1 



2 ß cos X + ß^)l 



