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C. Hillebrand, 



Die oben erhaltenen Ausdrücke für A" und A" lassen sich nur bis zu den Werten B und B' aus- 

 dehnen; die beiden Endräume zwischen B undJ5j einerseits und B' und B\ andrerseits sind schon teil- 

 weise durch die Kugeloberfläche C begrenzt, involvieren daher andere Integrationsbedingungen. 



i6. 



Führt man in A^ und A'' für ß die Grenzen ein, so läßt sich, da die untere Grenze für beide Aus- 

 drücke dieselbe ist, für diese der Ausdruck für A' + A" anwenden. Mit Rücksicht auf die Größenordnung 

 dieses Grenzwertes ßj kann man wieder Reihenentwicklungen vornehmen, in welchen schon wenige 

 Glieder den Genauigkeitsgrenzen Genüge leisten. Man kann zunächst 



arctg r^' ^ =2ß^ sin X (1 + ßj -1- ß^) ß? sin^ X (1 + ;3ß?) + — ßj'sin^X 



setzen. Ordnet man nach Potenzen von ß^ so ergibt sich 



arctg [?ii_^^ -2 /ß. sinX + - ß?sin SX + i-ß-? sin öx}. 

 \ 1-ß? / \ ' 3 5 / 



Ferner ist 



— 0)9 



log 



1 — 2 ßi cos X + ß? 

 1 + 2 ßj cos X 4- ß? 



1—2- 



ßi 



log 



1-^ß? 



cos X 



1-4-2- 



ß. 



1+ß! 



cos X 



l 



_ - , -ß. cosX d— ßä-4- ßi) + -^-23ß-Jcos3 X (1— 3ßr) +--25ßi' cos^X, 

 ( 3 5 / 



= — 4 Mi, cos X + ß-J cos 3 X -I ß? cos 5 X L 



l 3 5 / 



(A^ 



Der Wert von A' -f- A^' für die untere Grenze ist daher 



(2 cos- X — ])] ßi sin X -+- — ß-J sin ^S\-^ ß? sin 5 X 



sin X 3 5 



— a- . 2 cos X 



ß, cos X -I ß? cos 3 X H ß-J cos 5 X 



3 5 



-f-a^'ßi 



■^A 



i 



oder nach einigen leichten Reduktionen 



1 ., sin3X ] . sinöX 



ßi+-ß'J •^+-ß-? • —7 

 o sm X o sm X 



uDarfA 



- +^f 



1 „2 sin 3 X' 

 5 " sinX 



Da die oberen Grenzen für die beiden Seiten des Hyperboloides verschieden sind, so hat man 

 zunächst die Werte für A' und A^' getrennt zu ermitteln, wobei sich aber sofort eine sehr einfache Ver- 

 einigung ergibt. 



Man wird hier den Umstand benützen können, daß l' und daher auch die Werte B große Zahlen 

 sind, deren reziproke Werte von der Größenordnimg ßi angenommen werden können. Dann wird man im 

 ersten Gliede zweckmäßigerweise setzen 



arc tg 



B — cos X 



sin X 



■R [ sin X 



arc tg 



2 U'— cosX 



