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Dazu kommt noch die eben gefundene Größe 



V +v' = 7« /) . — ß'fi a 7'f sin X 



// Da'' sin X (1 — Yj). 



Die Gesamtzahl der Bahnen ist demnach 



ß^ 



N (0, 5j) = ;; D -^-^ arc cos (-fj sin X) 

 sin X 



+ ?/ D a'^ 



r \/l— T? sin- X + -^:7^Y" ä'"c cos f-Cj sin X) 



sin X 



; D r/? -fj [sin X + sin 3X]. 



Eine etwas einfachere Form erhält dieser Ausdruck, wenn man einen Winkel [i durch die zulässige 

 Substitution y, sin X =: cos |j. einführt. Dann wird die Gesamtzahl ausgedrückt durch 



ßö 



jV (0, B,} = n D ^^ ■ II + uD a-' 

 sinX 



ßö 



., . cos 2 X 



1 sm [X H {i. 



sin X 



— 4ti D ci? cos-' [J. 



cos- X 

 sin X 



Setzt man endlich-^ = K, eine Größe, die sehr nahe der Einheit gleich sein wird so resultiert für 

 n.- 



das gesuchte Verhältnis I'der merklich parabolischen zu sämmtlichen Bahnen: 



V-. 



K ( ßi sin X + — ßf sin 3 X + -_- ß? sin 5 X ] -1- ß f [ — ßi sin X + -~ ß-> sin 3 X 

 3 o ' \ 3 o 



FsinX \/l— iT sin-X + cos 2 X arc cos (7, sin X) + Ä'arc cos (Yj sin X) — n:(\ sin- 2X 

 oder durch Einführung der Größe [j,: 



K 1 ßj sin X H ß'' sin» X H ß J sin'^ X ) + ßf ( — ß, sin X H ßj sin 3 X 



p._ _J 3 5 / \ 3 5 



r sin X sin jj, + (K + cos 2 X) [j, — An. cos'- X cos^ [j. 



19. 



Die bisherigen Ausführungen sind nicht unter allen Umständen gültig. Sie basieren auf einer Ent- 

 wicklung nach Potenzen der sehr kleinen Größen a oder ß^, beginnend mit der Ordnung a'-, deren Glieder 

 aber Potenzen der Größe A' ^ 1 — 2 ß cos X + ß- zum Nenner haben. Diese Entwicklung verliert daher 

 ihre Gültigkeit, sobald X eine kleine Größe derselben oder höherer Ordnung als a ist. 



Da X ^z (1 — ß)2 + 4ßsin'- — ist, so wird dieser Fall dann eintreten, wenn sowohl X als auch F 



-ß 



Größen von der Ordnung c. sind. 'Vermöge des letzteren Umstandes bleibt daher jene Entwicklung, die sich 

 auf die Zahl der merklich parabolischen Bahnen bezieht, unter allen Umständen gültig, da man ß, als 

 beträchtlich kleiner als die Einheit annehmen muß, so daß man ohne weiteres die entsprechende Zahl 

 für den Grenzwert X = aus der gegebenen Formel für A^ (0, ß^) entnehmen kann. Andrerseits wird aber 

 da r beträchtlich größer als die Einheit anzunehmen ist, bei genügend kleinem X die Integration über 

 Gebiete führen, in welchen die obigen Entwicklungen aus dem angegebenen Grunde ungültig ist. Tat- 

 sächlich wird auch die Integration in der bisherigen Form überhaupt nicht mehr anwendbar, wenn X so 

 klein ist, daß die Strecke n ganz innerhalb des Hyperboloides fällt. Dann wird sich in dem dem Endpunkte 



