30 B. Igel. 



lind: 



Das letztere Resultat, das im ternären Gebiete aucli j;conietrisch evident ist, f'assten die Mathematiker 

 als ganz besonders wichtig auf, und suchten es algebraisch zu erweitern, indem sie solche Substitutionen 

 suchten, die die Identität 



Ix^ =1XJ (^■= 1, 2...«,) 



hervorliriniien. Von dieser ausgehend, fanden sie Grund;;leichungcu zwischen den Substitutionscoefticienten. 

 iius welchen sie dann die Eigenschaften der Sultstitutionen ableiteten. Verfolgt man aber den obigen Gedanken- 

 gang und beaclilet ganz besonders den eigenthümlichen Bau der Substitutionen in I) und 111), so sieht man, 

 dass es viel einfacher ist, anstatt von der Gleichung 



auszugehen, die Eigenschaften solclier allgemeinen Substitutionen zu untersuchen, wobei sich diese Gleichung 

 als eine unter den Eigenschaften ergibt. Setzen wir nämlich die Substitutionsgleichiingen 



• x■^ = «j, A',-f-a,j A'j-t- -+- -i-ai„ A',j 

 iy\ x.^ = fljj A,-Haj2 Aj-t- H — ha->„ A'„ 



ä^K = «Kl AJ-^-o■„2 A^-i — I — Ha„„ A„ 



A', = «,, x^-ha^^ .t.\-i- -+- -i-a,ji x„ 

 V) A'j = «jj x^ -t-Agj x^-i- -+- -t-an-> x,i 



X„ = a|„x^-^-a^„x■,-^- -+- -+-«„„03,, 



und multipliciren die Gleichungen IV) der Keihe nach mit 



«ji «si O31 . . .a„i 

 und addiren alle, so ergibt sich wegen V) 



Sa?, =1 

 2 ai2 a,i = 0. 



Multiplicirt man ferner die Gleichungen IV) der Reihe nach mit 



^12 ^"22 • • •'^"^ 

 so ergibt sich wegen V) 



2a?^ = 1 



2 a,i a,:2 == 0. 

 Verfährt man sofort, so erhält man ein System von >/^ Gleichungen von der Form 



ofi-t-af-a-H H-«?,, = 1 



an «il -4-«,-2 «42-*- H-Om «An = 0. 



Tl (jl I 1^ 



Bevor wir zeigen, dass dieses Gleichungssystem sich aui' — ^-^ — - reducirt, wollen wir zeigen, dass 

 es auch hinreicht, um von den Gleichungen IV) zu denen von V) überzugehen. Zu diesem Behufe fassen wir 

 das System VI) in eine Gleichung zusammen: 



( 1 für /; = k 



a.l "41 -l-«i2 «4-'-t- -H -H-Cm «4k =^ Sr, . - , 



(0 „ i « Ä. 



