1) 



11) 



B. Igel. 

 Mit Hilfe dieser 36 Relationen leitet er folgende Systeme von Gleichungen ab: 



Sz = (f^3 f^a)" f'..+(f 3 U,r f'^.+(f4 f^3)'' .f^33+2(C^3 f^r U,s-^2iU, U,y^ U,,-+-2{U^ C/,)« F„ 



0.3 -= (^. ^)" ^,.+(f4 f'-.r u,^-^{u, ur u,,-^2^ü, u,r C43+2(C4 fg« f/,3+2(t^, t/3)« f„ 



<-»t. = (f^ t^)" tn+(f''. f .r ^«+(f^ l'^)'' f 33+2(f/, ^;V^ f^3+2(f^ rg>='^3+2(C^ C^)'* f' , 



'S f u = (f^ f^)"<-'i,+(f^ f^r«='.2+(f'. f'',)='^w,3+2(c/, f/,)^3H^^_^2cf/, ^\y'^\,^nu, c^'^'-'u 



-s i;, = (f; t^,)» w,.+(6; C4re,,+(C'; cg'M-»33+2(f4 iq^^q^^^-2(u, u,r<r>,^-^2{u, u^^^^^, 



S r'33 = i^'s U,r Öu+(^"3 C^3)"0«+(f 3 U,r^^,-^'KU^ fg" W,3+2( ^3 ?73)'^H,3-+-2(f73 C/3)«0„ 

 Ä f.., = (f'2 C^3)" ö..+(t4 f^3rw,,+(f; ^3)3^033+2(^4 L\r%^-^2{U, U,YH-^,,-^2{l\ C73)'*fc)„ 



['S r,3 = (c:, r,)" 0„+(r. L\r%,,+a', u^^^2(U, u,yh->,,-^2(l\ v^yH->,,^2(^i\ c7,)'H-»„ 

 s r„ = (r, r,v'H„+(f/, f ,)«0,,+(f; r,)'^='033+2(C/; fy^^'H^+^ct/, cg'«(-.„+2, f/, u.yn-^,,- 



hier bedeutet Ä die fundamentale Invariante der kubischen Form 



8 = ^^U^U{)9^{Cr,ü,y^ 



Durch Vergleicbuug mit der gewöhnliclien Art der Auflösung des Systems I), bei welcher die Coefficien- 

 ten in II) statt von der 2. von der 10. Ordnung und die Determinante von der 12. Ordnung sind, schliesst 

 Aronhold,' dass die Unterdeterminanten mit der Determinante einen sich fortliebenden Factor von der 

 8. Ordnung haben. Um diesen zu finden, bringt Aronhold den Beweis, dass die Determinante die dritte 

 Potenz von S ist, und zwar in der Weise, dass er die kubische Form in der Hess e'schen Gestalt 



U(x^ XjXj) = a, x^-ha^ x^-i-a^ x^-i-6 a^ x^ x^ x^ 



annimmt, und für diese die Determinante sowohl als auch S geradezu ausrechnet. Ä* ergibt sich dann als der 

 gemeinschaftliche Factor der Unterdeterminanten. 



Nach unserer Methode im vorigen Abschnitt bedarf es nicht eines anderweitigen Beweises, sondern es 

 genügt schon die Voraussetzung der Systeme I) und II), um beides zu beweisen, dass die Determinante die 

 dritte Potenz von S ist, und dass die Minoren S''^ zum Factor haben. Die Formeln in III) gehen nämlich in 

 diesem Falle in folgende über: 



Die Vierte oder auch die Dritte gibt geradezu 



R, = S^ 

 während die erste und zweite die Formeln geben : 



ZR^ = S^ZR^. 



J L. c. p. tl4. 



