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B. Igel. 



so hat man statt eines allgemeinen Kegelschnitt-Netzes ein Netz konischer Polaren. Würden auch bei diesem 

 Netze für die verschiedenen Singnlaritäten verschiedene Bedingungen nöthig sein, so würde p{l\ l\ U^) = 

 anzeigen, dass im Netze eine Doppelgerade vorhanden ist. Für das Vorhandensein zweier oder dreier Doppel- 

 geraden würde erforderlich sein, dass die Minoren 5. Grades von p(f', U^ U^), respective die Minoren 5. und 



4. Grades verschwinden. 



Nach einem bekannten Satze entsprechen die Punkte der Hesse'schen Curve 3. Ordnung den Doppel- 

 punkten im Netze der konischen Polaren eindeutig, indem sie den Ort derselben darstellt, folglich muss die 

 Hesse'sche Cnrve, wenn eine konische Polare im Netze in eine Doppelgerade ausartet, d. h. unendlich viele 

 Doppelpunkte hat, diese Doppelgerade ganz enthalten. Wenn nun drei Doppelgeraden im Netze vorhanden 

 sind, so muss demnach die Hesse'sche Curve in drei Linien zerfallen. Für das Ausarten der Curve in drei 

 Geraden ist bekanntlich die einzige Bedingung hinreichend: 



s = 5:(c/»f/0"(t/pf7p)^^==o. 



Die Minoren 4. Grades, deren Verschwinden das Vorhandensein dreier Doppelgeraden anzeigt, müssen 

 daher ^' zum gemeinschaftlichen Factor haben. Würde nun p{U^ L\ U^) = nicht schon die Existenz von drei 

 Doppelgeraden nach sich ziehen, so würde folgen, dass eine einzige Bedingung für das V'orhandeusein dreier 

 Doi)pclgeraden genügt — da mit den Minoren 4. Grades auch die Minoren 5. Grades und p(f/'j U^ U^ selbst 

 S zum Factor haben — während bekanntermassen mehrere Bedingungen dafür nöthig sind. Es kann daher 

 nicht anders sein als dass in Folge von js ( f/, f/^ Lg) = auch schon die Minoren 5. und 4. Grades ver- 

 schwinden müssen. Soll aber aus dem Verschwinden von |i (T, f!, ig) nothwendig folgen, dass die Minoren 



5. und 4. Grades verschwinden, so kann p{L\ L\ fg) keinen anderen Factor enthalten, und muss folglich 



sein. Q. e. d. 



VI. 



Bezeichnet man mit ,J{ahc) und Il[abc) die Jacobi'sche, resp. die Hcrmite'sche Curve eines Kegel- 

 schnittnetzes, so gehen dieselben , wenn man an Stelle der drei homogenen Formen die drei Ableitungen 

 einer kubischen Form einführt, in die Hesse'sche, resp. Cayley'sche Curve der Cnrve dritter Ordnung über, 

 d. h. in 



A l\xyX^x.^ 



V. 



^128 ^133^ ^123^ ^113'^ ^11« 



-6 



j ^112 ^222 ^233 2 ^823'^ ^ViS" ^122 



\ T' r T' 9 TJ "^ TJ •> TT 



' '"113 ""2X3 "^333^ "-^233- '^133- *- 123 







Ü. 



In einer früheren Arbeit habe ich bewiesen, dass die Discriminanten von J^ahc) und llyahc) sich nur 

 um einen Zahlenfactor von einander unterscheiden, daraus folgt auch, dass die Discriminanten der Hesse'schen 

 und der Cayley'schen Curven sich nur um einen Zahlenfactor unterscheiden können. 



1 Borchardt's Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd. 55, p. ii 



