über die Gemeinsamkeit particulärer Integrale bei zwei linearen Differentiakßeichungen. 3 



Es soll nun zuvörderst untersucht werden, ob und wann das Verschwinden von R auch die hinreichende 

 Bedingung bildet, damit die beiden Gleichungen (1) und (2) ein particuläres Integral gemeinsam haben und zu 

 diesem Behufe R einer leichten Transformation unterworfen werden. 



Ich nehme an, es seien y^, Hz- ■ -ijn + i (w-+-l^ linear unabhängige particuläre Integrale der Gleichung 

 (1),' und ebenso z^, z^...z„,^i (w-hI) solcher Integrale von (2) und multiplicire die obige Determinante 

 (m-)-w-H-2)ten Grades R zeilenweise mit der aus diesen Elementen zusammengesetzten: 



P = 



Vi 



{m-^n) y (mH-n— 1) 



Vi 





(m-Hrt) ^ (m-t-n— 1 



-1) 





^17>+i 



Das so erhaltene Product lässt sich nun weiter umformen; aber ich werde, um nicht die Rechnungen 1. e. 

 p. 63 und (34 unter leicht erkenntliclien Modificationen zu wiederlioleu, mich mit der Darlegung des Ganges 

 der Transformation begnügen. 



Zunächst ergibt sich, wenn i^*^(r5i und f'Hr,) bedeuten, dass bezüglich in F^'''^ (x, y,. . . y'") und 

 /*' (X, y,. . .</'"") für y.t] substituirt wurde: 



I F^'"\{z^) 



F(z,) 



FR = ( l)("4-fl (m+l) 



!i?^'»)(2„+0 . . . FiZr^i) 



/"'(y.) 



■/(yi) 



/")(y„^0 . . ./(2/„+i 



Aber auch P lässt sich in zweifaclier Weise transformiren und man findet: 



>_(-!> 



(m-(-i) (n+1) 



y(„-i. 



Nun ist aber 



rim-l-l 





fcS+' 



1 



m+i 



'Jx 



1 



• yn^\ 1 



i^'"') (2,) 



1 



/«(«/. 



^-.) 



i^'»)(2„+,) . . . F{z,„^,) 



■ ■ -M) 



n+l 



Ayn+i) 



yir.-^) 



Vi 



y(^-') . . . y"+' 1 



12/1— ^"+0 



• Vi—yn+i 



(,«/„— </„^, )("-'' 



■ yn—yr,+i 





J a„ 



(5) 



da wegen der gemachten Voraussetzung die Grössen (^y^ — yn+t)', («/j — ^n+z)- • -(^z — ^2/n+O ein Fundamental- 

 system particulärer Integrale von '^ = bilden. Aus demselben Grunde hat in der zweiten Gleichung die erste 



- r *' dx 



Determinante rechts den Werth e ^ *» und man hat somit : 



' Bekanntlich lässt sich jedes particuläre Integral von 11) iluich i/n-l) linear unabhängige particuläre Integrale linear 

 mit Constanten Coefficienten ausdrücken. Die Differenzen i/j— y„-t-i, i/^— J^n+i •• ■ -y,,— ^n+i bilden dann ein Fundamentalsystem 

 particulärer Integrale der reducirten Gleichung y = 0. 



