G. V. Escherich. 





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1 _ f!. 







Die Substitution dieser Werthe in das Product PB liefert für E die beiden Gleichheiten: 



fi = aj'+'el^' 



= (_l)(n+i) (".+i)5j+i e J «i ° 



FC'Kzm+i) . . . F{z^+^) 



(6) 



n. 



Aus dieser Form von R lässt sich nun leicht erkennen, welche Bedeutung sein Verschwinden für die 

 Frage nach der Gemeinsamkeit particulärer Integrale der beiden Gleichungen (1) und (2) besitzt. Es genügt, 

 diesen Untersuchungen einen Theil der obigen Doppel-Gleichung zu Grunde zu legen, da sich aus den hier- 

 aus gewonnenen Resultaten durch einfache Vertauschungen die entsprechenden aus dem anderen Theile flies- 

 senden ergeben. Ich benütze etwa den zweiten Theil von (6). 



Verschwindet R, so verschwindet auch die rechts stehende „Determinante der Functionen" und es muss 

 dann zwischen deren Elementen eine lineare Relation bestehen (1. c. p. 66). Es müssen also dann (>«-+- 1) 

 Constante c,, Cj. . .Cm+i sich auffinden lassen, dergestalt, dass 



c^F{z^)-v-c^F{z^)^ . . . ^c„F{z„^-^c,^+iF{z„+i) = 



oder 



wo 



c, [F{z,)-Fiz„.^,)]^c, [Fiz,)-F{z„,^,)\- 



^c^[F{z^)-F{z,„^,)]^CF(z„.+^) = 0, 



-Cm-l-l- 



Ist nun C von Null verschieden, so kann man die obige Gleichung durch dasselbe dividiren, vrodurch 



diese, wenn — = A, gesetzt wird, übergeht in 



oder 



k,[F{z,)-F(z„,^,)]- 



F[k^{z^—Zm^^)- 



■ -+-kJyF{z^)—F(z^^i)\-^F(z„+i) =0, 



• -^k„,{Z„ — 2:„,+i)-l-^„+il = 0; 



der eingeklammerte Ausdruck ist aber wegen der gemachten Voraussetzungen ein pai'ticuläres Integral der 

 Gleichung /(x, y, ij' . . .</("'') ==0 uud es haben also in diesem Falle die Gleichungen (1) und (2) ein parti- 

 culäres Integral gemeinsam. Verschwindet jedoch C, so ist 



