über die Gemeinsamkeit purticulärer Integrale bei zwei linearen Differentialyleichungen. h, 



c, [F{z,)-t (2.+.)]+c, [F{z^)-F{z^^,)]- 



also 



?'K(^|- 



.ll-l-CjCZj— 0,„ + ))- 



. ^c^[F{z^)—F{z„,^.y)] = 0, 



-Cm{Zm—!lm+i)\ = ^ \ 



es haben somit die beiden reducirten Gleichungen von (1) und (2) ein partieuläres Integral gemeinsam, ohne 

 dass nothwendigerweise diese selbst eines gemeinsam besitzen. 



Diese Betrachtungen ergeben daher: 



„Versehwindet das Resultat der Elimination der abhängigen Yariabeln aus zwei linearen Diifereutial- 

 Gleichungen, so haben entweder diese selbst oder ihre reducirten Gleichungen particuläre Integrale gemein- 

 sam." Und umgekehrt. 



Haben also die reducirten der beiden linearen Gleichungen kein partieuläres Integral gemeinsam, so 

 haben (1. c. VII) die beiden Gleichungen ein und nur ein partieuläres Integral gemeinsam, das sich dann 

 unmittelbar aus dem Systeme (3) ergibt. 



Auf diesen Fall lässt sich nun durch Einführung einer neuen Variabein auch der allgemeine zurückführen, 

 in dem die reducirten Gleichungen particuläre Integrale gemeinsam haben. Denn ist 2 = die homogene 

 lineare Differentialgleichung dieser geraeinsamen particulären Integrale (1. c. p. 71), so lassen sich (ibidem 

 p. 72) stets Operationssymbole p und q bezüglich von der ( w — (ji.)ten und (n — ;x)ten Ordnung auffinden, wenn pi 

 die Ordnung der Gleichung z = ist, dergestalt, dass 



ist. Haben nun die Gleichungen 



p{z)-^a = und q(z)-\-h = 



kein partieuläres Integral gemeinsam, so ist dies auch mit den Gleichungen (1) und (2) der Fall; besitzen sie 

 aber eines gemeinsam und wird dasselbe mit v bezeichnet, so ist 



die Differentialgleichung der den beiden Gleichungen gemeinsamen Integrale, d. h. jedes particuläre Integral 

 der letzteren Gleichung genügt den beiden Gleichungen (1) und (2) und umgekehrt. 



UI. 



1. Diese Ergebnisse lassen sieh in mehr directer und expliciter Weise auch aus der Gleichung (6) ab- 



leiten. Zunächst bemerke man, dass die Ableitung dieser Gleichunt 



nur auf der Vnrnussetzung beruht, 



dass 



sowohl (/, , (/j . . .ijn+i als auch z^, z^. . .z„,^\ je ein System linear-unabhängiger particulärer Integrale seien 

 und dass es also gestattet ist, in jedes derselben gemeinsame particuläre Integrale aufzunehmen. 



Ich will nun zunächst annehmen, es verschwinde B, während die Resultate r von '^ = und ij; = von 

 Null verschieden sei. Dann habeu die beiden Gleichungen (1) und (2) ein partieuläres Integral ?, gemein- 

 sam. Aus 



FiX) Fiz^) . . .-FU+. 



i^'(C) F{z,) . . .F\z^^i) 



R 



jrw(^) irw(^j) 



i*'("'(2„+i) 



wo 



1/ — 1_^^ ( — ,_'j.._i_-)i i_l J j^ 



C' = (-l)^^'"+*"'"-^'"+''6r e 



gesetzt wurde, folgt: 



