über die Gemeinsamkeit parficulärer Integrale bei zwei linearen Differentialgleichungen. 





. F(z„+t) 

 ■ F' (z^i) 



iiX'»-')(^,) 2r("-')(03) . . . i^"'-' (^,„+,) 



= 0. 



Diese Identität zeigt aber an, dass entweder auch die Gleichungen (1) und (2) ein Integral gemeinsam 

 haben oder deren Reducirten noch ein zweites von dem ersten linear unabhängiges. 



Unter den gemachten Voraussetzungen haben also entweder die Gleichungen (1) und (2) selbst oder 

 deren Reducirten mindestens zwei linear unabhängige particuläre Integrale gemeinsam. 



Wenn also Ä = r = ist und überdies in der Reihe der Diiferentialquotienten 



dR dB 



dB 



einer Null ist, aber keiner der beiden gemeinsam verschwindenden (1. c. p. 68), 



d^B , ^,, dr d*B ,, ^, , dr 



dal'-'^r/a'"" 



( 1)"+' b - • ^i — l)"+*b ■ 



dai. 



so haben die Gleichungen (1) und (2) zwei linear unabhängige Integrale gemeinsam. 



Werden dieselben mit C, und ?, bezeichnet, dann darf in (6) ?, ^ C^ und ^J := C^ gesetzt werden und aus 

 dieser Form von B folgt: 



d*B 



\ 1.(11— i) f(n— 



ffa^^Vai"' ■?('■-*) C^"-*) 



also ; 



d^R 



d^B 



FC^'Kz^) . . . F'"-'\z^,) 



F{z;) . . . F(z^i) 



e'rfar-T" 



(".)..(».-<) 



da„2ida, 



^„=-c(?;''.-^i<' 



F^'"-%z^) . . . F^'"-%z^+i) 



wenn mit >;, = Cj — ?, das Integral bezeichnet wird, das die reducirten Gleichungen gemeinsam haben müssen. 

 Aus derselben Form von B folgt aber: 



F{z,) . . .F{z^+,) 



, ^\f , , = l—lY+% "^ = (-1)"+' Cn, 



^L? = (_l>+<& - — _== (_!>+' Crj,' 



fja„_i da da„-i 



F^-'-^z^) . . . F'"-'){z^i) 

 Fiz,) . . .Fiz^+,) 



F'^'){z^) . . . F'^'){z^i) 



d*B 

 Die Substitution dieser Ausdrücke in die obige Gleichung für — ^r — ^ zeigt, dass unter den gemachten 



Voraussetzungen jedes den beiden Gleichungen (1) und (2) gemeinsame Integral (J die lineare Differential- 

 gleichung befriedigt: 



d^B _ d*B ^ d*B d*B 



,(™-.)^^(., <'^„(™-i)^„W ^ ^«(l-OrfaC») da^-'^da& 



(-l)"+'6„ 



^, dr^ . dr 



da„ rtai-i ' 



