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G. V. Escherich. 



Es ist aber auch umgekehrt jedes particuläre Integral dieser Gleichung ein den Gleichungen (1) und (2) 

 gemeisames Integral.' Denn die reducirte Gleichung derselben gibt das den reducirten von (V) und (2) gemein- 

 same Integral (1. c. p. 67) n,. Ist also C, eines der beiden .supponirten gemeinsamen Integrale von (1) und 

 (2), 80 ist jedes particuläre Integral ? der obigen Gleichung in der Form darstellbar 



wo c^ eine Constante bedeutet. Jedes dieser Integrale genügt aber, sowohl (1) als auch (2). 



Die beiden Gleichungen (1) und (2) haben kein Integral gemeinsam, sondern blos ihre reducirten deren 

 zwei linear-unabhängige, wenn 



d^B 



und 



d^B d^B 



dair-'Ua^'"^ rfall-T"rfa""' 



= 0. 



Verschwindet aber auch noch der erste dieser drei Differentialquotienten, so wird es wieder unent- 

 schieden, ob die Gleichungen (1) und (21 oder blos deren reducirte linear- unabhängige particuläre Integrale 

 gemeinsam haben, deren Anzahl dann die Zahl zwei übersteigen muss. Aufschluss hierüber gibt wieder die 

 Betrachtung der dritten Differentialquotienten von B und r. 



2. Statt in diese Betrachtungen einzugehen, will ich gleich allgemein die hinreichenden und nothvyen- 

 digen Bedingungen aufsuchen, unter welchen die beiden Gleichungen (1) und (2) k und nicht mehr linear- 

 unabhängige particuläre Integrale gemeinsam haben. 



Soll dies der Fall sein, so ist eine nothwendige Bedingung, dass die reducirten Gleichungen von (1) und 

 (2) (k — 1 ) und nicht mehr linear-unabhängige particuläre Integrale geraeinsam haben und es ist also nur zu 

 untersuchen, welche weiteren Bedingungen zu der Annahme, dass die Reducirten von (1) und (2) (k — 1) 

 linear-unabhängige Integrale gemeinsam haben, hinzutreten müssen, damit (1) und (2) selbst k solche Inte- 

 grale gemeinschaftlich besitzen. 



Werden diese (A — 1) gemeinsamen Integrale der beiden Reducirten mit v^j , ri^. . .rn_i bezeichnet, so 

 lässt sich dem B die Form geben: 



B=C 



y('»-*+2)(rj,) 



y(».)(„,) 



?'™-*--'('!i-i); -F'^-'+^'C^*)- • . F('-'^+%z„+i) 



yW(,,j_,) 



i^-^'N 



i^""(2™+.) 



wo C einen für die nachfolgenden Überlegaugen gleichgiltigen Ausdruck bezeichnet. 



Hieraus ersieht man unmittelbar, dass alle (A;— l)ten Differentialquotienten von B verschwinden, welche 

 die Form 



d"-' B 



[da': 



(m—k-i-a)-i i r J„('»'— *+P)l *— '— * 



]• [daTsrn 



• Der homogenen linearen Differentialgleichung der 2. Ordnung 



^(— i)rf„(™-i) 



-n«"-2 



'^4-1" 



da 



('»-') 



T)«' 



d^R 



d<ln—i ""n— 1 



: = o 



genügt zwar auch jedes der beiden gemeinsamen Integrale ?, und ?2> es befriedigt aber nicht umgekehrt jedes particuläre 

 Integral derselben die beiden Gleichungen (1; und (J). 



