über die Gemeinsamheit particulärcr Integrale bei zwei linearen Differentialgleichungen. 9 



haben, sobald sowohl p als auch (t>2 sind. Von den übrigen Differentialquotienten dieser Ordnung sollen nun 

 blos die näher untersucht werden, in denen (7 = 2 ist, da diese allein eine weitere Verwendung finden werden. 

 Ihre Bildungsweise ergibt sich aus den beiden Formeln: 



^p{m-k+l+-,) 



indem man die erste Formel auf je / und die zweite auf die jedesmal übrigen der {k —1) letzten Zeilen von B 

 anwendet und die so gewonnenen Determinanten addiit. Von diesen wird nun, wie die obigen Formeln lehren, 

 jede Determinante verschwinden, in der zu einem v der /Zeilen, welche der ersten Formel unterworfen wurden, 

 sich ein fx in den übrigen {k — i — 1) Zeilen vortiudet, welche in der Beziehung stehen 



[3. V = p 3. 



Da nun offenbar das kleinste [>., welches nach /-maliger Differentiation nach «('»-*+-) noch für die Differen 

 tiation nach «t^^-^+r') zur Verfügung bleibt, der Bedingung w«^Z;-Hl-t-jüi.>OT — ^"-i-p, d. h. ,ui>p — 1 genügen 

 muss, so verschwinden in der obigen Summe alle Determinanten, bei denen die erste Formel nicht auf die 

 Zeilen angewandt wird, in denen 



V = 1, 2, . . . p-2 



ist. Sind daher in einer Determinante, welche diese Bedingung erfüllt, 



Pf-i > Pf ■ ■ ■ Pi-(9~^) 



numerisch geordnet, die v der übrigen Zeilen, welche der ersten der obigen Formeln unterworfen werden, so 

 muss, soll die hervorgehende Determinante nicht verschwinden, mindestens ein Theil der Folge 



l^_(p_3); 2+(p-3) . . . 2p-3; ^p_.+(p-3), . . . i>,_(p_,)-H(p-3) («) 



in der obigen Folge : 



Pp_i; Pf . . ■Pi-(f-i) (ß) 



enthalten sein, während der andere Theil über (k — 1) hinaus liegt. 

 Sind daher 



Pf-i , Pp . . . 2h-i 



die Glieder dieser Folge, deren jedes um (p — 3) vermehrt, nicht grösser als {k — 1) ist, so müssen sie die 

 Folge 



p— 1, p, . . . X— 1 



bilden. Das auf ^,_) in (ß) folgende Glied p-, muss also ^zk — 1 aber> ^)_i-t-l sein und es wird somit auf 

 die Zeile von B, in der 



1 -+-;?)._ 1 = p. 



ist, die zweite der obigen Formeln angewandt sein. Da aber 



l-H^x-i— (p — 3) =^x-i-l-4— p = X-i-3 — p , 

 sobald nur p>3 ist, in der Folge: 



1, 2, . . . (p-3), (p-2) . . . X-1, 

 also auch in der identischen : 



1, 2, ... p— 2, Pp_, . . . px-j 



Denkschriften der mathem. oaturw. Cl.-fiXTn. Bd. Abhandlungen von Nichtmitgliedem l) 



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