über die Gemeinsamkeit parfkulärer Integrale bei zwei linearen Differentialgleichungen. 11 

 wenn p nicht grösser als 3 ist, sich als ein Product aus einem nicht verschwindenden und dem Factor 



darstellt. Diese Differentialquotienten sind also gleichzeitig Null oder hievon verschieden u. zw. findet 

 stets das erstere statt, sobald die beiden Gleicliungen (Ij und (2) k liuear-unabhäugige particuläre Integrale 

 gemeinsam haben, da dann die obige Determinante verschwindet. Aber umgekehrt darf aus dem Verschwin- 

 den eines dieser Differentialquotienten nur geschlossen werden, dass die Gleichungen (1) und (2) entweder k 

 derartige Integrale gemeinsau haben oder dass sie selbst keines, aber ihre Reducirten mindestens deren k 

 gemein haben. Wenn also einer der obigen Differeutialquotienten verschwindet und die Reducirten nicht k In 

 tegrale gemeinsam haben, sondern nur {k—l), so müssen (1) imd (2) selbst ^• Integrale gemein haben; sie 

 können aber deren auch nicht mehr gemeinsam haben, da sonst auch die Reducirten mehr gemeinschaftlich 

 haben müssten. Hieraus folgt : 



„Haben die Reducirten zweier linearen Differentialgleichungen (k — 1) linear-unabhängige particuläre 

 Integrale gemeinsam und verschwindet ein Differentialquotient des B von der Form: 



wo p nicht grösser als 3 ist, so haben die linearen Differentialgleichungen k derartige Integrale gemeinsam, 

 wenn kein Differentialquotient von der Form : 



lÄ = (-1)-'^. ^^-'^ 



die zugleich Null oder von Null verschieden sind, verschwindet'); ist jedoch derselbe Null, hingegen für 

 irgend ein * 



dj^ 



wo p < 3 ist, so haben die linearen Gleichungen gar kein, aber ihre Reducirten k linear-unabhängige Integrale 

 gemein." 



Der Forderung, dass die beiden reducirten Gleichungen [k — 1 ) linear-unabhängige particuläre Integrale 

 gemeinsam haben sollen, lässt sieh noch ein anderer Ausdruck geben, da die Bedingungen bekannt sind, 

 unter welchen dieselbe in Erfüllung geht '). Sie lauten: 



„Die beiden reducirten Gleichungen haben (k — 1) linear-unabhängige particuläre Integrale gemein, wenn 

 ausser ;• noch [k — 2) Differentialquotienten desselben, deren jeder einer anderen der ersten (k — 2) verschie- 

 denen Ordnungen angehört und von der Form: 



ist, verschwindet." 



Diese Bedingungen lassen sich aber unter Berücksichtigung der vorangehenden Ergebnisse noch anders 

 darstellen. 



Verschwindet nämlich sowohl B als auch ein Differentialquotient desselben von der Form : 



dB 

 ~d^ 



1) L. c. p. 70. 



b* 



