12 O. V. Escherich. 



80 haben, wie aus den früheren Entwicklungen hervorgeht, entweder die linearen oder reducirten Gleichungen 

 mindestens zwei linear unabhängige particuläre Integrale gemeinsam, also besitzen in diesem Falle die 

 reducirten Gleichungen mindestens ein gemeinsames particuläres Integral. Verschwindet daher auch noch ein 

 Dififerentialquotient von der Form : 



cf'B 



wo p ^ 3 ist, so haben nach dem Vorangehenden die Eeducirten mindestens zwei linear-unabhängige particu- 

 läre Integrale gemein. 



Diesen Gedankengang fortsetzend gelangt man zu dem Ergebnisse : 

 „Verschwinden ausser R noch {k — 1) Differentialquotienten desselben von der Form: 



dB dm d>'-'R 



da'r> ' [da^:-:^Y[da^r'-^'^]'-' '■ ■ '{da^:-^+'^X[da!-r''^'^]''-'-' ' 



wo p^3ist, so besitzen die beiden reducirten Gleichungen von (1) und (2) mindestens (k — 1) linear-unab- 

 hängige particuläre Integrale gemeinsam." 



Dem obigen Satze lässt sich hiedurch die folgende Fassung geben: 



„Damit die beiden linearen Differentialgleichungen (1) und (2) k, aber auch nicht mehr 

 linear-unabhängige particuläre Integrale gemein haben, ist es nothweudig und hinreichend, 

 dass mit ihrer Resultante i?, noch (fc — 1) Differentialquotienten derselben von der Form: 



dB d^B d"-'B 



wo p ^ 3 ist, Null sind; aber keiner der gemeinsam verschwindenden von der Form: 



Verschwinden hingegen auch diese, ist aber für irgend ein i: 



d"B 



[(iaill*+'']*'[dai"'-*+P-"]*" 



r.^0, 



wo p nicht grösser als drei ist, so haben zwar die linearen Gleichungen kein Integral, aber 

 ihre reducirten k linear-unabhängige particuläre Integrale gemeinsam." 



IV. 



Die voransteheuden Betrachtungen führen auch mit Leichtigkeit zu einer linearen Differentialgleichung, 

 der jedes gemeinsame Integral von (1) und (2) genügt und deren jedes particuläre Integral auch umgekehrt 

 diesen Gleichungen gemeinsam ist. 



Um dieselbe abzuleiten, werde angenommen, die beiden Gleichungen (1) und (2) haben k linear-unab- 

 hängige particuläre Integrale gemein und werden dieselben mit C, , Cj ■ • • C/, bezeichnet. Die Grössen 

 Ci — C/t = J?! ; Cj — Ci = ■'Jj;- ■ -C*-! — ?i = ''/-t-i «iud dann (k — 1) den beiden reducirten Gleichungen gemein- 

 same linear-unabhängige particuläre Integrale. Dem B kann man dann die Form geben: 



