über die Gemeinsamkeit parficulärer Integrale bei zwei linearen Differentialgleichungen. 15 



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'dx'" ^'dx'^-' ■ • ■ ■ ^'"-'dx 

 d" rf"-* f' 



auffinden, dergestalt, dass 



Denn die (w-h/(H-2) linearen Gleichungen, die zwischen ^^, ;;, . . .;>,„; ?„, j, . • .<?„ bestehen müssen, damit 

 diese Identität statt habe, sind nach diesen (m-hn-^2) Grössen homogen und haben R zu ihrer Determinante. 

 Da nun R = und r ^ ist, so sind diese Grössen berechenbar. 



Haben die beiden Gleichungen (1) und (2) (A;-i-l) linear-unabhängige particuläre Integrale gemein, was 

 nach den Criterien in (III) erkannt wird, so haben ihre reducirten Gleichungen k linear-unabhängige Integrale 

 gemeinschaftlich. Ist z = (1. c. p. 71) deren Differentialgleichung, so lässt sich mittelst zweier Operations- 

 Symbole der obigen Art: p und q, von denen das erstere von der (jh— A:)teu und das zweite von der {n—k)ten 

 Ordnung ist, den Gleichungen (1) und (2) die Gestalt geben: 



Die beiden linearen Gleichungen 



p{s)-{-a = 0, 

 q(z)^b=0, 



die bezüglich von der (m— Ä-)ten und («— Ä,-)ten Ordnung nach z sind, haben nunmehr blos ein Integral 

 gemeinsam und daher findet sich nach dem oben Auseinandergesetzten ein Operations-SymbolP der (»w— Ä;)ten 

 und Q der (n — Ä;)ten Ordnung dergestalt, dass 



P[p{z)-^a\^:Q[q{z)^b)] 

 also 



P[F]~Q[f]. 



Offenbar gilt auch die Umkehrung: Besteht zwischen F und/ eine derartige Identität, so müssen F= 

 und /= (Ä;-+-l) linear-unabhängige particuläre Integrale gemeinsam haben. Denn bilden y^, y^. . .«/™+i ein 

 System linear-unabliängiger parficulärer Integrale der Gleichung /= 0, und bezeichnete, die Substitution von 

 yi in F, so sind F^ , Fj...F,„+, particuläre Integrale der homogenen Differentialgleichung der (m— Ä;)ten 

 Ordnung 



P{F) = 0. 



Es können somit von diesen (w-t-1) particulären Integralen blos (m — k) von einander linear- unabhängig 

 sein, während die übrigen (A:-i-l), falls sie überhaupt von Null verschieden sind, lineare Ausdrücke dieser 

 sein müssen. Wird etwa angenommen, dass 



F^, Fj,. . . Fm—k 

 die linear-unabhängigen Integrale seien, so muss Fm^k+i sich in der Fonn darstellen lassen : 



F™_i+,- : -: c, F^ -HC,, F^-t- . . . -<-c,„_ti^,„_i, 



wo die c Constanten sind, die auch Null sein können. Es lässt sich nun leicht nachweisen, dass jede der- 

 selben verschwinden muss. Denn wären eines oder mehrere c von Null verschieden, so niüsste, da die obige 



