16 G. V. Escherich. 



Identität erfordert, dass die denselben Ableitungen der abhängigen Variablen zugehörigen Coefficienten auf 

 beiden Seiten einander gleich seien, die Kelation: 



c^-\-c^-^. . .-i-c^^— 1, 



statt haben und 



y„^k+i = c, y^ -(-c^^/j, -f- . . . -i-c„,_A_) ym^k—i -HCm-*«/«— * 



sein. In Folge der Relation zwischen den c ginge aber diese über in : 



ym-k+i = c, («/| — ym-k)-^ ■ ■ ■ -^Cm . k-i {ym-k-i —ym-k)-^ym-k, 

 was der Voraussetzung widerspräche, dass y^, y^. . -ym+i linear-unabhängig sind; also muss 



Cj ^ c^ = . • • =^ C„i — k ^^ ^ 



und somit 



F„^k+i = 



sein für «' = 1, 2, . . .k-hl. 



Die vorstehenden Entwicklungen lassen sich demnach in den Satz zusammenfassen: 



„Haben zwei lineare Differentialgleichungen F^O und/= 0, von denen jedenfalls eine 

 nicht homogen und die erste von der «ten, die zweite von der wten Ordnung ist, (Ä:-t-l) linear- 

 unabhängige particuläre Integrale gemein, so lässt sich stets ein Operations-Symbol Pder 

 (?»— Ä;)ten und eines Q der (n — k)ten Ordnung bestimmen, dergestalt, dass die Identität 

 obwaltet:* 



P[F]^Q[f]. 



Und umgekehrt: Besteht zwischen i^und /"eine derartige Identität, so haben die beiden 

 linearen Differentialgleichungen 



F=0, /=0, 



(Ä;-i-l) aber auch nicht mehr linear-unabhängige particuläre Integrale gemein." 



Ist /= selbst von der Ä;ten Ordnung, sind also die sämmtlichen particulären Integrale der Gleichung 

 y = in jF^= enthalten, so lässt sich hinach F in die Form bringen: 



F~Q[fl 



wo Q ein Operations-Symbol der («— Ä;)ten Ordnung ist. Bezeichnet daher v das allgemeine Integral der 

 nach/ homogenen linearen Gleichung der (w — A:)ten Ordnung: 



<?[/] = 0, 

 so ist/= V eine Integralgleichung von F^=0. 

 Man zieht hieraus den Satz: 



Sind die sämmtlichen particulären Integrale einer linearen Differentialgleichung der 

 Ä:ten Ordnung/ = in einer höheren, «ter Ordnung, /'^= enthalten, so kommt die Integra- 

 tion der letzteren zurück auf die Integration von / = und einer homogenen linearen Glei- 

 chung der (n — Ä:)ten Ordnung. 



Die Anwendung, die dieser Satz im Falle findet, als zwei gegebene lineare Differentialgleichungen 

 gemeinsame particuläre Integrale besitzen, bedarf keiner weiteren Auseinandersetzungen. 



2) Es soll nun das dem eben behandelten Probleme zur Seite stehende gelöst und die Differentialgleichung 

 der niedrigsten Ordnung aufgesucht werden, welche die sämmtlichen particulären Integrale zweier gegebenen 

 linearen Differentialgleichungen enthält. 



Die Lösung dieser Aufgabe ist für den Fall, dass beide Gleichungen kein partieuläres Integral gemeinsam 

 haben, durch die folgende Bemerkung gegeben, die ohne weiteres evident ist. 



