über die Gemeinsamkeit particulärer Integrale bei zwei linearen Differentialgleichungen. 1 7 



„Haben die beiden linearen Diifcrentialgleichungen y = und ^ = 0, von denen mindestens eine nicht 

 homogen und die erste von der Hten, die zweite von der wteu Ordnung sei, kein particuläres Integral 

 gemein, so lassen sich stets zwei Operations-Symbole p und q bezüglich von der (»w-Hl)ten und (n-\-\ )ten 

 Ordnung bestimmen, welche die Identität herstellen: 



Besitzen jedoch die linearen Differentialgleichungen F=0 der «ten und /= der mten Ordnung, von 

 denen mindestens eine nicht homogen sei, (A-h1) linear unabhängige particuläre Integrale gemeinsam und ist 

 3 = deren lineare Differentialgleichung der Men Ordnung, so lassen sich nach dem Vorhergehenden (1) zwei 

 Operations-Symbole P und Q bezüglich von der (w— /i-)ten und {m — A;)ten Ordnung bestimmen, welche die 

 Identitäten liefern: 



F=P{z) 



Da die beiden homogenen Differentialgleichungen nach z der {n — A;)ten und {m — A;)ten Ordnung : 



P{z) = Q, 

 Q{z) = 0, 



nunmehr kein particuläres Integral gemeinsam haben können, so lassen sich nach 1. c. p. 74 zwei Operations- 

 Symbole R und S bezüglich voü der Ordnung (_m—k) und. (« — k) auffinden, welche die Identität herstellen: 



B[Piz)] = S[Q{z)] 



oder 



R[F] = S[f]. 



Jeder dieser Ausdrücke verschwindet für die Substitution der particulären Integrale sowohl von F=0 

 als auch von /= und daher sind in jeder der beiden identischen linearen Gleichungen der {tn-hn — /i;)ten 

 Ordnung : 



E[F] = S[f] = 



■'o 



die sämmtlichen Integrale sowohl von F= als auch/=0 enthalten. Wie ihre Herleitung zeigt, sind diese 

 Gleichungen auch die der niedrigsten Ordnungen von dieser Beschaffenheit. 



Man übersieht, wie durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens auch die Differentialgleichung der 

 niedrigsten Ordnung gebildet werden kann , welche die sämmtlichen particulären Integrale mehrerer linearer 

 Gleichungen in sich vereiniget. Aber auch die früheren Sätze in (1) lassen sich für den Fall erweitern, dass 

 nicht blos zwei, sondern mehrere Gleichungen zugleich in Betracht gezogen werden. Doch dürfte es zweck- 

 mässig sein, vorerst ein gewisses Eliminations-Problem zu erledigen. 



VI. 



1) Ich will mir erlauben die Lösung dieses Problems mit einer allgemeinen Bemerkung über die Elimi- 

 nation einer Varinbeln aus zwei simultanen Differentialgleichungen zwischen drei Variabein einzuleiten, die 

 sich durch die früheren Entwicklungen aufdrängt und, wie ich glaube, nicht ganz überflüssig erscheinen 

 dürfte. Dieselbe wird an Deutlichkeit gewinnen, ohne an Allgemeinheit einzubüssen, wenn ich sie an die 

 linearen Gleichungen (1) und (2) in (I) knüpfe. Nimmt man an, dass in diesen Gleichungen die Coefficienten 

 eine zweite von x abhängige Variable z sammt ihren Differentialquotienten, in jedem bis zu einer gewissen 

 Ordnung enthalten, so ist B das Kesultat der Elimination der Variabein y aus den beiden Gleichungen. Der 

 Differentialgleichung nach z:R^O schreibt man nun zumeist, wie mir scheinen will, nicht nur die Eigeil- 

 schaft m, durch zusammenfallende Werthe von z befriedigt zu werden, welche aus den beiden gegebenen 



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