18 G. V. Escherich. 



Gleicuuiigen für dasselbe // sich ergeben, sondern auch, dass jede ihrer Lösungen gemeinsame particuläre 

 Integrale der beiden gegebenen Gleichungen bestimme. Doch die letztere Suppositiou ist unbegrün- 

 det. Denn nach den Auseinandersetzungen in (11) kann es immerhin AVerthe des z geben, deren jeder Ä = 

 genügt, die jedoch so beschafTen sind, dass nicht die durch sie in (Ij und (2) bestimmten linearen Ditferential- 

 gleichuDgen nach y ein particulärcs Integral gemein haben, sondern blos deren Reducirten. 



Von den unzähligen Beispielen, die sich leiclil zur Illustration dieser Thaf Sache formen Hessen, möge 

 eines angeführt werden. 



Sind in den beiden linearen Gleichungen: 



a , .//"-+-«, ij'-^-'iill-^fi = ", 



die Coefficienten: 



rty = 2z"-i-3z'-hz-t-x^ 



a, = bz"-hlz'-h2z—2x /;, =(2x-^l)z"—i4x*-hS)z'~2(2x'-hx~h2)z—x 



Oj = 2x{2x-h\)z"-i-(4x^-+-l)z'—{2x - r)z~h2 



a = -2x^ 



so verschwindet für z = e—"" der Ausdruck B, den man durch Elimination des // aus den beiden Gleichungen 

 gewinnt; aber die durch Substitution dieses Werthes sich ergebenden linearen Gleichungen: 



x^ y" — 2xy'-\-2y — 2x}^ = ü, 



{x — \)y" — xy'-hij-i-b = 



haben dennoch kein particulärcs Integral gemeinsam, sondern blos ihren Eeducirten wird gleichzeitig durch 

 y = x genügt. 



Die erwähnte Supposition trifft jedoch zu, wenn die linearen Gleichungen (1) und (2) homogen nach y 

 sind, da (1. c. p. 66) dann das Verschwinden ihrer Resultante die nothwendige und hinreichende Bedingung 

 ist, damit dieselben particuläre Integrale gemein haben. Die Entwicklungen dieser Note ermöglichen es jedoch, 

 noch in einem zweiten Falle aus (1) und (2) eine dritte Gleichung abzuleiten, deren jede Lösung stets gemein- 

 same Lösungen derselben bestimmt, nämlich dann, wenn die Variable z blos im letzten von y freien Terme 

 der beiden Gleichungen, von denen wenigstens eine nicht homogen vorausgesetzt wird, auftritt 



Denn haben die Reducirten der beiden Gleichungen, in deren Coefficienten also die Variable z und deren 

 Derivirten nicht vorkommen, (k — 1) und nicht mehr particuläre Integrale gemeinsam, so stellt nach (III) die 

 Identität: 



fr/ai'rT*+''l *■ [^0'"^*+'' 1 *^'-* 



= 



die nothwendige und hinreichende Bedingung dar, damit die beiden linearen Gleichungen k linear unabhän- 

 gige particuläre Integrale gemein haben. Jedes z, das dieser Gleichung genügt, bestimmt also k den beiden 

 gegebenen Gleichungen gemeinsame linear unabhängige particuläre Integrale und bildet daher mit jedem 

 dieser k Integrale und jedem aus ihnen linear zusammengesetzten Integrale Lösung«- Systeme der beiden 

 simultanen Gleichungen. 



Zu einer Gleichung von der gewünschten Beschatfenheit wäre man auch leicht durch gesonderte Betrach- 

 tung der beiden Fälle gelangt, in denen die Reducirten der beiden Gleichungen (1) und (2) kein particulärcs 

 Integral gemein haben oder deren mehrere. Denn im ersten Falle hat R = Q die gewünschte Eigenschaft, dass 

 jede ihrer F^ösungen gemeinsame Lösungen in fl) und (2) hervorruft. Der zweite Fall, in welchem diese 

 Gleichungen (k — 1) linear unabhängige particuläre Integrale gemeinsam haben, lässt sich aber unmittelbar 

 auf den erstereu zurückführen. Denn stellt u = die Diflerentialgleichung dieser gemeinsamen Integrale dar. 



