über die Gemeinsamkeit pmiiculärer Integrale bei zwei linearen. Differentiukjleichunqen. 19 



so lassen t^icli stets Operations-.Symbole p uiul q bezüglich von der (w — A;-i-l)ten und (m — A-t-l)ten Ordnung 

 auffinden, vermittelst welcher die Identitäten statthaben: 



F~p{:ii)-^a, 

 f q{u)-i-b. 



Die reducirten der beiden nach u linearen Gleichungen : 



p{u)-ha =0, 

 q(u)-hb =U 



haben dann kein particuläres Integral gemeinsam und die Resultante B der beiden linearen Gleichungen gibt 

 also, gleich Null gesetzt, eine Diiferentialgleiclumg nach z, deren jedes particuläre Integral in diesen Glei- 

 chungen dasselbe u und somit gemeinsame Integrale von F^ und /= *1 bestimmt. 



Mit dieser Elimination ist auch eine Aufgabe gelöst, von der ein specieller Fall schon durch Herrn Fuchs ' 

 und ein /weiter 1. c. p. 79 behandelt wurde.' Man kann ilir die nachfolgende Fassung geben: 



Die lineare Differentialgleichung zu bilden, deren jedes particuläre Integral ein gege- 

 bener linearer Differentialausdruck eines particulären Integrals einer gegebenen linearen 

 D i ff e r c n t i al g 1 e i c h u n g ist. 



Diese Aufgabe ist offenbar ein specieller Fall des oben erörterten Eliminations-Problems. Denn ist 



F^a^!/'''"-\-a,y(''-'>-^...-+-a„!/-ha = 0, (a) 



die gegebene und gesucht die lineare Differentialgleichung, deren particuläre Integrale z mit den </ in der 

 Beziehung stehen: 



so 'hat diese die Eigenschaft, dass jede ihrer Lösungen z in den beiden linearen Gleicliungen (a) und {ß) 

 gemeinsame Lösungen y bestimmt. Sie wird also in der eben auseinandergesetzten Weise gefunden und ist, 

 wenn 



%y''-*-a, y'"-*' -+-■■■ -^a„ y = <» 

 und 



boy"' -+'Ky"'-' -H. . .-hb,„y = U 



(Je — 1) linear unabhängige particuläre Integrale gemein haben, nach z von der (n — Ä;-i-l)ten Ordnung. 



2. Durch die Lösung dieser Aufgabe ist man nunmehr in den Stand gesetzt, die früher angeregte Erwei- 

 terung der Sätze in (VI) auszuführen. Ich will dieselbe an dem Falle vornehmen, dass die sämmtlichen parti- 

 culären Integrale jeder der drei linearen Gleicliungen /j = 0, f^ = 0, f^ = 0, die bezüglich von der Ordnung 

 Ä;, , k^, kg seien, in der linearen Differentialgleichung der /den Ordnung F = enthalten seien, da sich von 

 hieraus der allgemeine Fall, wo an die Stelle von drei linearen Differentialgleicluingen m treten, vollständig 

 übersehen lässt. Von diesen drei Gleichungen will ich vorerst annehmen, dass keine zwei, noch die Redu- 

 cirten irgend zweier particuläre Integrale gemeinsam haben. 



Da die sämmtlichen particulären Integrale von/, =0 in F^^ü enthalten sind, so lässt sicli immer ein 

 Operations-Symbol der (n — ^j)ten Ordnung/) bestimmen (V, I) dergestalt, dass 



F-P\A]. 



> Joiiinal für'Mathematik, Bd. 68. 



■^ Der (lortigeu Elimination liegt die 8tillscliweij;eude Voraussetzung zu Grunde, dass die beiden Reducirten kein parti- 

 culäres Integral gemein haben. 



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