20 G. V. Es eher ich. 



Sind nun die pavticulären Integrale v;,, r,^. . .rn,+ \ von /^ linear nnabhängig, so sind auch die Ausdrücke 

 fi ("i)» ^1(^2)- • ■fi(y'h+^)^ *iereu jeder der Gleiclumg 



genügt, wegen der gemachten VoraussetzAingen linearunabliängig von einander und können somit als (A-j-hI) 

 linear unabhängige particuläre Integrale einer homogenen linearen Differentialgleichung nach/, (r?) : 



betrachtet werden, deren Bildnngsweise soeben in (1) gelehrt wurde. 



Da nun die sämmtlicheu Integrale dieser Gleichung der ( A, -i-Ä-j iten Ordnung in ^j [/,]:= enthalten 

 sind, so muss sich ein Operations-Symbol q der {« — k^ — Aalten Ordnung auffinden lassen (V, 1, 1. c. V.j der- 

 gestalt, dass 



Der Gleichung : 



2[?(/,)] = 



wird wieder durch jedes particuläre Integral von /g = genügt. Sind nun y;|, r,'^. . .r,\^ linear unabhängige 

 Integrale vou/3 = 0, so wird die obige Gleichung durch jeden der Ausdrücke 



befriedigt. Diese Ausdrücke sind aber wegen der gemachten Voraussetzungen linear unabhängig von ein- 

 ander, da die lineare Relation 



Ci ¥'[/i('''l)l-^c2'^[/;('r;;)]-t-. . . -HC4,+,cp[/,(rji,+,)] = 0, 



wo die c Constanten sind, wie man sich leicht überzeugt, zur Folge hätte, dass entweder — wenn Xc = 

 ist — eine oder beide Reducirteu von/, = und/2= mit der Reducirteu vony3 = 0, oder — wenn '^c ^^ 

 ist — die Gleichungen /j = U uud/3= particuläre Integrale gemein haben. Die obigen Ausdrücke können 

 daher als linear unabhängige Integrale einer nach ^|/, (o)] linearen homogenen Gleichung betrachtet werden. 

 Ist daher 



4'[n/i)] = o 



diese G-leichung, welche von der Ordnung (k^-^h^-+-]i,^) ist, so sind deren sämmtliche Integrale in 



enthalten. Daher muss es ein Operations-Symbol ^ der (« — k^ — k^ — Ajjten Ordnung geben, für welches 



Hiernach ist also: 



wo der Differentialausdruck /, von der Ordnung A:, und die Operations-Symbole y, -.p, y bezüglich von der 

 Ordnung k^, k^ und n — (A-, -t-A-j-t-A-j) sind. 



Die vorstehenden Auseinandersetzungen führen somit zu dem folgenden Satze: 



Sind die sämmtlicheu particulärcn Integrale jeder der linearen Gleichungen: 



/=0;/, =0;,^ = 0; .../„, = 



die bezüglich von der Ordnung A;, A;, , A-j, .. .A:,„ seien, in einer linearen Diffe rentialgleichung 

 der «ten Ordnung 



F=^ 



