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THEORIE DER DERIVATIONEN. 



VON 



ANTON KKUG. 



(VORGELEGT IN DER SITZUNG AM 17. OKTOBER 1889.) 



Einleitung. 



Der Gedanke, die DiifereutialquotieDteii und vielfachen Integrale einer gegebenen Function fiz) als 

 Specialfälle eines allgemeineren Ausdruckes F{z, n), der von zwei Variablen z und n abhängt, aufzufassen, 

 ist sehr alt, doch ist Liouville der erste, der diesen Gedanken weiter verfolgte und eine diesbezügliche 

 Theorie ausbildete. Seit dieser Zeit haben sich viele Mathematiker mit diesem Gegenstande beschäftigt, und 

 es ist die Literatur beträchtlich angewachsen. Wenn ich mich nun in der vorliegenden Abhandlung mit 

 derselben Frage befasse, ohne mich auf irgend einen der Vorgänger zu beziehen, sondern vielmehr wieder von 

 vorne beginne, die Theorie aufzubauen, so geschieht es, weil nach meiner Ansicht mit den bisherigen Aus- 

 führungen noch nicht das gesagt ist, was zu sagen ist, und wenn ich meiner Arbeit in dieser Beziehung 

 einen Fortschritt vindicire, so ist es betreffs der Definition der Deiivation (wie der Ausdruck F{z, ti) nach 

 Herrn Grünwald benannt ist) und der functionentheorcti.schen Grundlage der Entwicklungen. 



Einen Gedanken Riemann's benützend, gehe ich davon aus, der Derivatiou D"f{z) = F{z,n) die 

 beiden Fundamentalforderungen aufzuerlegen 



— F{z,n)z=zF{z,n+l) 



vZ 



F{z, — v) = f{z)dz' V ganz und positiv 



(dass dann F(z, + v) Differentialquotienten werden, ist ohne Weiteres klar); dann zeigt sich, dass hiedurch 

 die Deiivation noch nicht bestimmt ist, dass man also noch eine Forderung stellen kann. Für diese neue 

 Forderung wählte ich die Relation 



D^D''f{z) — D'"+''f{z) 



als dritte Fundamentaleigenschaft, und dann ist die Derivation F(z, n) vollkommen bestimmt und ich konnte 

 sie durch das verallgemeinerte Cauchy'sche Integral ausdrücken. Ganz von selbst stellten sich die Bedingung 



