152 Anton Krug , 



der Deiivirbarkeit der Function f{z), sowie der Begriff des Intervalls, und endlich die Bedingung ein, 

 unter der die dritte Fundamentaleigeuscliaft besteht. 



Die EinfacLheit und Natürlichkeit dieses Gedankenganges wird man nicht verkennen; es fragt sich jetzt 

 nur, ist die auf diesem Wege gefundene Derivation auch identisch mit der bisher behandelten? Diese Frage 

 ist zu bejahen; das zeigt die Darstellung 



^ r'C "^ ^^' J (^ O""*"' V ganz und positiv 



die sich im Wesentlichen überall findet (bei Liouville ist a = oo, bei H. Grünwald und den Übrigen ist 

 a endlich, während Buchwaldt beide Fälle zulässt). 



I. 



Definition der Derivation mit endliclier unterer Grenze. 



1. 



Wir bilden von einer vorgelegten Function f(z) der complexen Variabelen z successive die Differential- 

 quotienten und vielfachen Integrale, dann haben wir die beiden Reihen 



a a a 



deren Glieder wir folgeweise mit 



F(z,0), F{z,l\ F{z,2) . . . F(^z,.) . . . 

 Fiz-1), F{z-2) . . F{z~.) . . 



bezeichnen wollen. Dabei soll die untere Grenze a der vielfachen Integrale endlich und sonst beliebig sein, 

 jedoch von der Beschaffenheit, dass die Function f(z) wirklieh zwischen den Grenzen a und z integrirbnr ist. 

 Wir können dann sagen, dass die Differentialquotienten und vielfachen Integrale die specietlen Wcrtlie sind, 

 welche die allgemeinere Function 



F{z,n) 



für ganze positive und negative n, d. h. für « =; +v annimmt. Diese allgemeinere Function F(z,)t), welche 

 eine Function der beiden von einander unabiiängigen complexen Variabelen z und n ist, möge Derivation der 

 vorgelegten Function f(^z) genannt werden; in diesem Sinne sind also die Operationen des Differenzirens und 

 Integrirens specielle Fälle einer allgemeinen Operation, die wir dementsprechend das Deriviren nennen 

 wollen. 



Es ist nun zunächst zweckmässig, für das Differenziren und Integriren ein gemeinsames Zeichen einzu- 

 führen; dazu benützen wir vor der Hand das Zeichen D mit beigesetztem Index, nämlich 



fi-'^(z) = D'f{z) 

 p az)dz^ = D-'f(z) 



